Menentukan Persamaan Parabola dan Ellips Miring

Seorang teman mengadukan masalah ini dalam perbincangan kami di di jejaring sosial. Dua nomor soal yang diberikan adalah sebagai berikut:

1. Dengan menggunakan definisi ellips, tentukan persamaan ellips dengan fokus $F_1(0,0)$ dan $F_2(2,1)$ dan jumlah jarak titik pada ellips ke $F_1$ dan $F_2$ adalah $5$ satuan.
2. Tentukan persamaan parabola dengan direktriks $y=x$ dan fokus $(0,6)$.

Dengan menggunakan pengertian dan definisi parabola dan ellips akan diperoleh sketsa grafik seperti tampak pada gambar di atas.

Ini menjadi menarik dan menantang karena "tidak biasa", yaitu kedua kurva itu berbentuk miring.

Tentu saja, persamaan dari kedua kurva tersebut dapat diperoleh dengan mudah bila dicari dengan menggunakan, misalnya, GeoGebra. Lalu bagaimana bila kita menganalisis dan menyelesaikan soal tersebut tanpa bantuan software?

Seumpama pisau yang terlalu lama tak diasah, semula saya selesaikan kedua soal tersebut dengan lebih dulu menganggap bahwa kedua kurva tersebut mendatar. Tetapi akhirnya terkendala oleh keharusan membentuk transformasi yang justru menambah kerumitan dalam penyelesaiannya.

Setelah mengadu ke forum, barulah tersadar bahwa penyelesaiannya "cukup sederhana", yaitu dengan menggunakan definisi (seperti dimaksudkan oleh pembuat soal tersebut).

Nah, berikut ini penyelesaian selengkapnya untuk kedua soal di atas yang saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online $\small\LaTeX$ Editor ShareLaTeX.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2014

-->

Pembimbingan Belajar Akhir: Soal-soal Turunan pada UN 2013

Seperti diketahui bersama, Kisi-kisi Ujian Nasional 2014 sama persis dengan Kisi-kisi Ujian Nasional 2013. Tulisan kali ini berupa tinjauan terhadap soal-soal Turunan (Diferensial) yang diujikan pada tahun lalu untuk SMK Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian. 

Ada 3 soal Turunan dalam tiap paketnya, masing-masing berbentuk:

$\displaystyle \color{blue}{f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad \Rightarrow \qquad f'(x)= \cdots}$

$\displaystyle \color{blue}{f(x)=\textrm{sin}\ u+\textrm{cos}\ u\qquad \Rightarrow \qquad f'(x)= \cdots}$

$\displaystyle \color{blue}{f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\qquad \Rightarrow \qquad \textrm{titik stasioner?}}$

Dokumen berikut ini berisi soal-soal Turunan yang termuat dalam 5 paket UN 2013 SMK Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX.

Demikian semoga bermanfaat!

Adjie Gumarang Pujakelana 2014



-->

Pembimbingan Belajar Akhir: Turunan Fungsi Aljabar

Kalkulus memang materi matematika yang sangat menarik. Sebagai salah satu bagian dari matematika terapan, kalkulus sangat mengasyikkan ketika dipelajari. Semua materi matematika (aljabar, geometri, trigonometri, aritmatika) berpadu dalam prasyarat dalam kalkulus.

Tulisan berikut ini adalah kelanjutan dari tulisan sebelumnya tentang pembimbingan belajar akhir yang ditujukan kepada para calon peserta Ujian Nasional. Tulisan kali ini tentang Turunan Fungsi Aljabar. Tulisan ini memuat beberapa contoh soal yang diselesaikan, kemudian diakhiri dengan soal-soal yang dapat digunakan untuk menguji kompetensi atas materi ini.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX.
Demikian semoga bermanfaat!

Adjie Gumarang Pujakelana 2014



-->

Pembimbingan Belajar Akhir: Limit Fungsi Aljabar

Memasuki semester genap, waktu serasa menyesakkan oleh karena banyak kegiatan yang khas ditujukan kepada para calon peserta ujian nasional, misalnya "pengayaan" dan tryout. Beberapa waktu untuk kegiatan pembelajaran menjadi "tidak efektif" oleh adanya kegiatan-kegiatan tersebut.

Kesibukan para guru, terutama yang mengampu mata pelajaran yang diujikan pada ujian nasional, semakin bertambah. Di antaranya, menyiapkan materi "pengayaan", menyiapkan soal-soal, membuat kisi-kisi pengujian, membuat naskah soal, membuat pedoman penskoran, dan lain-lain.

Sehubungan dengan hal tersebut, berikut ini saya tampilkan salah satu bagian materi yang mendukung pelaksanaan kegiatan di atas. Tulisan kali ini tentang Limit Fungsi Aljabar. Tulisan ini memuat beberapa contoh soal yang diselesaikan, kemudian diakhiri dengan soal-soal yang dapat digunakan untuk menguji kompetensi atas materi ini.


Dokumen berikut ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX.
Demikian semoga bermanfaat!


Adjie Gumarang Pujakelana 2014

-->

Soal dan Solusi: Logaritma

Nilai logaritma itu menyatakan pangkat ketika bilangannya (numerus) dinyatakan dalam bentuk pangkat.\[\color{DarkRed}{^{a}log\ b=x\qquad \Leftrightarrow \qquad a^x=b}\]Jadi penentuan nilai logaritma tidak terlepas dari pemahaman tentang bentuk pangkat suatu bilangan.
Selain itu juga terdapat beberapa sifat yang berlaku dalam logaritma.

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang logaritma. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Persamaan Garis Lurus

Persamaan suatu garis dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk.
Bentuk umum:\[\color{DarkRed}{ax+by+c=0}\]Dalam bentuk:\[\color{DarkRed}{y=mx+c}\]nilai $\color{DarkRed}{m}$ menyatakan kemiringan (gradien) garis.
Persamaan garis melalui titik $\color{DarkRed}{(0,b)}$ dan titik $\color{DarkRed}{(a,0)}$:\[\color{DarkRed}{bx+ay=b.a}\]atau\[\color{DarkRed}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\]
Persamaan garis bergradien $\color{DarkRed}{m}$ dan melalui titik $\color{DarkRed}{(a,b)}$:\[\color{DarkRed}{y-b=m(x-a)}\]

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang persamaan garis lurus. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat \[\color{DarkRed}{y=ax^2+bx+c}\]berbentuk parabola (yang dapat terbuka ke atas atau ke bawah, dicirikan oleh tanda dari koefisien $\small\color{DarkRed}{a}$ pada persamaan fungsinya).

Materi ini sangat menarik karena dapat berpadu dengan berbagai konsep di dalam Matematika maupun mata pelajaran lainnya. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang grafik fungsi kuadrat. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Salah satu yang perlu diperhatikan ketika kita menyelesaikan suatu pertidaksamaan linear adalah perubahan tanda ketidaksamaan jika terjadi perkalian atau pembagian tiap sukunya dengan suatu bilangan negatif. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang pertidaksamaan linear satu variabel. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel 
\[\color{DarkRed}{Ax+By=C}\]

dengan koefisien-koefisien $\small A$, $\small B$, $\small C$ real membentuk grafik berupa garis lurus. Secara geometris, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel

\[\color{DarkRed}{\left\{\begin{matrix}A_1x+B_1y=C_1\\A_2x+B_2y=C_2 \end{matrix}\right.}\]

berupa titik potong dari kedua garis tersebut. Dengan demikian ada 3 kemungkinan tentang banyak penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dua variabel, yaitu:

1. memiliki tepat satu penyelesaian, jika \[\color{DarkRed}{\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}}\]
2. tidak emiliki penyelesaian, jika \[\color{DarkRed}{\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}}\]
3. memiliki tak hingga penyelesaian, jika \[\color{DarkRed}{\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}}\]

Selain  dengan menggunakan metode grafik sebagaimana digambarkan di atas, penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dua variabel juga dapat ditentukan dengan menggunakan metode eliminasi, metode substitusi, metode gabungan eliminasi dan substitusi, dan metode determinan.

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang sistem persamaan linear dua variabel. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Model Matematika

Banyak masalah dalam kehidupan terselesaikan setelah dilakukan pemodelan matematis terhadap masalah tersebut. 

Unsur-unsur yang mempengaruhi masalah itu dinyatakan dalam variabel-variabel, kemudian dibentuk sistem persamaan atau sistem pertidaksamaan yang bersesuaian dengan masalah tersebut. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang model matematika. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Nilai Optimum

Optimasi adalah materi puncak dalam konsep program linear. Materi-materi pendukung dalam konsep ini dan dipadukan pula dengan geometri analitis menjadikan optimasi sebagai materi terapan yang cukup kompleks. 
Secara sederhana teknis optimasi dapat dilakukan dengan:

• menggunakan titik uji (titik-titik sudut pada daerah feasible) untuk menentukan nilai fungsi objektif. 
• menggunakan garis selidik.

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang nilai optimum. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Operasi Matriks

Operasi aljabar pada matriks meliputi: penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
Materi ini dapat pula dipadukan dengan determinan dan invers matriks.
Operasi aljabar pada matriks yang paling rumit adalah perkalian matriks. 
Dua matriks dioperasikan oleh perkalian jika memenuhi syarat:
banyak lajur matriks-kiri = banyak baris matriks-kanan
dan ordo dari hasil kalinya ditentukan oleh:
\[\color{DarkRed}{A_{m\times k}.B_{k\times n}=C_{m\times n}}\]

Secara teknis perkalian dua matriks adalah operasi antara baris dari matriks-kiri terhadap lajur pada matriks-kanan. Sebagai contoh:
\[\color{DarkRed}{\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1.b_1 & a_1.b_2 & a_1.b_3\\ a_2.b_1 & a_2.b_2 & a_2.b_3\\ a_3.b_1 & a_3.b_2 & a_3.b_3 \end{pmatrix}}\]

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang operasi matriks. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Operasi Vektor

Operasi aljabar pada vektor meliputi: penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
Khusus dalam konsep vektor, tidak ada operasi pembagian dan operasi perkalian terdiri dari perkalian titik dan perkalian silang.
\[\bar{a}=\left ( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix} \right )\qquad \bar{b}=\left ( \begin{matrix} x_2\\ y_2\\ y_3 \end{matrix} \right )\]

\[\color{DarkRed}{\bar{a}.\bar{b}=x_1.x_2+y_1.y_2+z_1.z_2}\]

\[\color{DarkRed}{\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix}=\begin{pmatrix}y_1.z_2-z_1.y_2\\ x_1.z_2-z_1.x_2\\ x_1.y_2-y_1.x_2\end{pmatrix}}\]

Hanya saja, di sekolah menengah, perkalian silang masih tergolong ke dalam materi pengayaan, bukan materi pokok. 

Selain itu operasi aljabar vektor dapat pula ditinjau secara geometris. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang operasi vektor.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Sudut antara Dua Vektor

Besar sudut $\alpha$ antara dua vektor $\bar{a}$ dan $\bar{b}$ ditentukan dari nilai kosinusnya sebagai hasil bagi perkalian titik kedua vektor oleh perkalian panjangnya. 
\[\color{DarkRed}{cos\ \alpha=\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{a}\mid \mid\bar{b}\mid}}\]
Dengan demikian perkalian titik kedua vektor dapat dinyatakan sebagai 

\[\color{DarkRed}{\bar{a}.\bar{b}=\mid\bar{a}\mid \ \mid\bar{b}\mid\ cos\ \alpha}\]
Dalam hal ini kisaran nilai sudut  $\alpha$  adalah  $\color{DarkRed}{0^\circ\leq\alpha\leq180^\circ}$
sehingga nilai kosinus yang negatif menunjukkan bahwa sudut yang terbentuk adalah sudut tumpul (sudut di kuadran II).

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang sudut antara dua vektor.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Luas Daerah Bangun Datar

Materi ini memuat tentang perhitungan luas daerah dari suatu bangun datar (plane geometry) atau dari perpaduan beberapa bangun datar.  

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang luas daerah bangun datar.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Luas Permukaan Bangun Ruang

Bangun ruang dibatasi oleh sisi-sisi yang masing-masing berbentuk bangun datar (segitiga, persegi, persegi panjang, dan lingkaran, dll). Oleh karena itu luas permukaan suatu bangun ruang dihitung sebagai jumlah luas dari seluruh sisi yang membatasinya. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang luas permukaan bangun ruang.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Volume Bangun Ruang

Di sekolah menengah kejuruan, materi bangun ruang memuat luas permukaan dan volume bangun ruang. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang volume bangun ruang.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk didukung oleh 4 buah operator, yaitu $\wedge$, $\vee$, $\to$, dan $\leftrightarrow$ yang berturut-turut membentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

Penentuan nilai kebenaran dari tiap pernyataan majemuk tersebut ditunjukkan oleh tabel berikut ini. 

\[\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{DarkRed}{p} & \color{DarkRed}{q} & \color{DarkRed}{p\wedge q} & \color{DarkRed}{p\vee q} & \color{DarkRed}{p\to q} & \color{DarkRed}{p\leftrightarrow q}\\ \hline
B & B & \color{teal}{B} & B & B & \color{teal}{B} \\ \hline
B & S & S & B & \color{teal}{S} & S \\ \hline
S & B & S & B & B & S \\ \hline
S & S & S & \color{teal}{S} & B & \color{teal}{B} \\ \hline
\end{array}\]

Tampak bahwa nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk semata-mata bergantung pada nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggal yang membentuknya (dan tidak dipengaruhi oleh keterkaitan hubungan antarpenyataan tunggalnya). 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang nilai kebenaran pernyataan majemuk.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->