Soal Nilai Mutlak

Salah satu situs yang saya sukai adalah Quora. Permasalahan ini saya dapatkan dari sana. Situs tanya-jawab yang didirikan oleh dua mantan karyawan Facebook, yaitu Adam D'Angelo dan Charlie Cheever, tersebut berisi pertanyaan tentang berbagai hal (bidang) yang dibuat, dijawab, disunting dan dikelola oleh komunitas penggunanya.

Salah satu pertanyaan yang diajukan adalah sebagai berikut.

Mengapa tidak ada penyelesaian untuk persamaan $\sqrt{x^2+6x+9}=x$?  Bukankah $x=-\frac{3}{2}$ adalah penyelesaiannya?

Jawaban atas pertanyaan di atas telah saya susun dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui Online $\small\LaTeX$ Editor ShareLaTeX di bawah ini.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

-->

Soal dan Solusi: Logaritma

Nilai logaritma itu menyatakan pangkat ketika bilangannya (numerus) dinyatakan dalam bentuk pangkat.\[\color{DarkRed}{^{a}log\ b=x\qquad \Leftrightarrow \qquad a^x=b}\]Jadi penentuan nilai logaritma tidak terlepas dari pemahaman tentang bentuk pangkat suatu bilangan.
Selain itu juga terdapat beberapa sifat yang berlaku dalam logaritma.

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang logaritma. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Persamaan Garis Lurus

Persamaan suatu garis dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk.
Bentuk umum:\[\color{DarkRed}{ax+by+c=0}\]Dalam bentuk:\[\color{DarkRed}{y=mx+c}\]nilai $\color{DarkRed}{m}$ menyatakan kemiringan (gradien) garis.
Persamaan garis melalui titik $\color{DarkRed}{(0,b)}$ dan titik $\color{DarkRed}{(a,0)}$:\[\color{DarkRed}{bx+ay=b.a}\]atau\[\color{DarkRed}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\]
Persamaan garis bergradien $\color{DarkRed}{m}$ dan melalui titik $\color{DarkRed}{(a,b)}$:\[\color{DarkRed}{y-b=m(x-a)}\]

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang persamaan garis lurus. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat \[\color{DarkRed}{y=ax^2+bx+c}\]berbentuk parabola (yang dapat terbuka ke atas atau ke bawah, dicirikan oleh tanda dari koefisien $\small\color{DarkRed}{a}$ pada persamaan fungsinya).

Materi ini sangat menarik karena dapat berpadu dengan berbagai konsep di dalam Matematika maupun mata pelajaran lainnya. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang grafik fungsi kuadrat. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Salah satu yang perlu diperhatikan ketika kita menyelesaikan suatu pertidaksamaan linear adalah perubahan tanda ketidaksamaan jika terjadi perkalian atau pembagian tiap sukunya dengan suatu bilangan negatif. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang pertidaksamaan linear satu variabel. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel 
\[\color{DarkRed}{Ax+By=C}\]

dengan koefisien-koefisien $\small A$, $\small B$, $\small C$ real membentuk grafik berupa garis lurus. Secara geometris, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel

\[\color{DarkRed}{\left\{\begin{matrix}A_1x+B_1y=C_1\\A_2x+B_2y=C_2 \end{matrix}\right.}\]

berupa titik potong dari kedua garis tersebut. Dengan demikian ada 3 kemungkinan tentang banyak penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dua variabel, yaitu:

1. memiliki tepat satu penyelesaian, jika \[\color{DarkRed}{\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}}\]
2. tidak emiliki penyelesaian, jika \[\color{DarkRed}{\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}}\]
3. memiliki tak hingga penyelesaian, jika \[\color{DarkRed}{\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}}\]

Selain  dengan menggunakan metode grafik sebagaimana digambarkan di atas, penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dua variabel juga dapat ditentukan dengan menggunakan metode eliminasi, metode substitusi, metode gabungan eliminasi dan substitusi, dan metode determinan.

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang sistem persamaan linear dua variabel. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Model Matematika

Banyak masalah dalam kehidupan terselesaikan setelah dilakukan pemodelan matematis terhadap masalah tersebut. 

Unsur-unsur yang mempengaruhi masalah itu dinyatakan dalam variabel-variabel, kemudian dibentuk sistem persamaan atau sistem pertidaksamaan yang bersesuaian dengan masalah tersebut. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang model matematika. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Nilai Optimum

Optimasi adalah materi puncak dalam konsep program linear. Materi-materi pendukung dalam konsep ini dan dipadukan pula dengan geometri analitis menjadikan optimasi sebagai materi terapan yang cukup kompleks. 
Secara sederhana teknis optimasi dapat dilakukan dengan:

• menggunakan titik uji (titik-titik sudut pada daerah feasible) untuk menentukan nilai fungsi objektif. 
• menggunakan garis selidik.

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang nilai optimum. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Operasi Matriks

Operasi aljabar pada matriks meliputi: penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
Materi ini dapat pula dipadukan dengan determinan dan invers matriks.
Operasi aljabar pada matriks yang paling rumit adalah perkalian matriks. 
Dua matriks dioperasikan oleh perkalian jika memenuhi syarat:
banyak lajur matriks-kiri = banyak baris matriks-kanan
dan ordo dari hasil kalinya ditentukan oleh:
\[\color{DarkRed}{A_{m\times k}.B_{k\times n}=C_{m\times n}}\]

Secara teknis perkalian dua matriks adalah operasi antara baris dari matriks-kiri terhadap lajur pada matriks-kanan. Sebagai contoh:
\[\color{DarkRed}{\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1.b_1 & a_1.b_2 & a_1.b_3\\ a_2.b_1 & a_2.b_2 & a_2.b_3\\ a_3.b_1 & a_3.b_2 & a_3.b_3 \end{pmatrix}}\]

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang operasi matriks. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Operasi Vektor

Operasi aljabar pada vektor meliputi: penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
Khusus dalam konsep vektor, tidak ada operasi pembagian dan operasi perkalian terdiri dari perkalian titik dan perkalian silang.
\[\bar{a}=\left ( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix} \right )\qquad \bar{b}=\left ( \begin{matrix} x_2\\ y_2\\ y_3 \end{matrix} \right )\]

\[\color{DarkRed}{\bar{a}.\bar{b}=x_1.x_2+y_1.y_2+z_1.z_2}\]

\[\color{DarkRed}{\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix}=\begin{pmatrix}y_1.z_2-z_1.y_2\\ x_1.z_2-z_1.x_2\\ x_1.y_2-y_1.x_2\end{pmatrix}}\]

Hanya saja, di sekolah menengah, perkalian silang masih tergolong ke dalam materi pengayaan, bukan materi pokok. 

Selain itu operasi aljabar vektor dapat pula ditinjau secara geometris. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang operasi vektor.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Sudut antara Dua Vektor

Besar sudut $\alpha$ antara dua vektor $\bar{a}$ dan $\bar{b}$ ditentukan dari nilai kosinusnya sebagai hasil bagi perkalian titik kedua vektor oleh perkalian panjangnya. 
\[\color{DarkRed}{cos\ \alpha=\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{a}\mid \mid\bar{b}\mid}}\]
Dengan demikian perkalian titik kedua vektor dapat dinyatakan sebagai 

\[\color{DarkRed}{\bar{a}.\bar{b}=\mid\bar{a}\mid \ \mid\bar{b}\mid\ cos\ \alpha}\]
Dalam hal ini kisaran nilai sudut  $\alpha$  adalah  $\color{DarkRed}{0^\circ\leq\alpha\leq180^\circ}$
sehingga nilai kosinus yang negatif menunjukkan bahwa sudut yang terbentuk adalah sudut tumpul (sudut di kuadran II).

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang sudut antara dua vektor.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Luas Daerah Bangun Datar

Materi ini memuat tentang perhitungan luas daerah dari suatu bangun datar (plane geometry) atau dari perpaduan beberapa bangun datar.  

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang luas daerah bangun datar.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Luas Permukaan Bangun Ruang

Bangun ruang dibatasi oleh sisi-sisi yang masing-masing berbentuk bangun datar (segitiga, persegi, persegi panjang, dan lingkaran, dll). Oleh karena itu luas permukaan suatu bangun ruang dihitung sebagai jumlah luas dari seluruh sisi yang membatasinya. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang luas permukaan bangun ruang.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Volume Bangun Ruang

Di sekolah menengah kejuruan, materi bangun ruang memuat luas permukaan dan volume bangun ruang. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang volume bangun ruang.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk didukung oleh 4 buah operator, yaitu $\wedge$, $\vee$, $\to$, dan $\leftrightarrow$ yang berturut-turut membentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

Penentuan nilai kebenaran dari tiap pernyataan majemuk tersebut ditunjukkan oleh tabel berikut ini. 

\[\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{DarkRed}{p} & \color{DarkRed}{q} & \color{DarkRed}{p\wedge q} & \color{DarkRed}{p\vee q} & \color{DarkRed}{p\to q} & \color{DarkRed}{p\leftrightarrow q}\\ \hline
B & B & \color{teal}{B} & B & B & \color{teal}{B} \\ \hline
B & S & S & B & \color{teal}{S} & S \\ \hline
S & B & S & B & B & S \\ \hline
S & S & S & \color{teal}{S} & B & \color{teal}{B} \\ \hline
\end{array}\]

Tampak bahwa nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk semata-mata bergantung pada nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggal yang membentuknya (dan tidak dipengaruhi oleh keterkaitan hubungan antarpenyataan tunggalnya). 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang nilai kebenaran pernyataan majemuk.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Negasi Pernyataan Majemuk

Negasi dari implikasi
\[\color{DarkRed}{\bf \sim(p\to q)\equiv p\wedge \sim q}\]

Hukum de Morgan

\[\color{DarkRed}{\bf \sim (p\wedge q)\equiv \sim p\ \vee \sim q}\]

\[\color{DarkRed}{\bf \sim (p\vee q)\equiv \sim p\ \wedge \sim q}\]

Negasi dari kuantor

\[\color{DarkRed}{\bf \sim \forall x,p(x)\equiv \exists x,\sim p(x)}\]

\[\color{DarkRed}{\bf \sim \exists x,p(x)\equiv \forall x,\sim p(x)}\]

Ketiga bentuk dasar negasi terhadap pernyataan majemuk tersebut sering kali digunakan dalam menyelesaikan soal.

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang negasi pernyataan majemuk.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->