-->

Sabtu, 26 Desember 2015

Deret Kuadrat Sinus

Soal

Siapa pun yang menyukai Matematika pasti sering merasakan kenikmatan yang tidak mungkin ditemukan oleh orang lain yang tidak begitu menyukainya. Kenikmatan itu diperoleh ketika mampu menemukan penyelesaian dari suatu masalah (soal) dan di dalam algoritmenya ditemukan keterkaitan antarberagam konsep dan prinsip dalam Matematika. Nah, hal tersebut akan Anda rasakan dalam menyelesaikan soal yang bersumber dari brilliant.org berikut ini.
\[\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\sin^23^\circ+\cdots+\sin^2360^\circ=\ldots.\]

Jawaban 

Mari kita misalan $S=\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\sin^23^\circ+\cdots+\sin^2360^\circ$, maka kita peroleh
\begin{align*}
S &= \sum_{k=1}^{360}\sin^2k^\circ &&\\
&= \sum_{k=1}^{360}\frac{1}{2}\left(1-\cos2k^\circ\right) && \textrm{berdasarkan}\ \cos2k^\circ=1-2\sin^2k^\circ\\
&= \frac{1}{2}\bigg(\sum_{k=1}^{360}1-\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ\bigg)\\
&= \frac{1}{2}\bigg(360-\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ\bigg)\\
&= 180-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ
\end{align*}
Lalu, berapakah nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ$?

Mari kita selidiki untuk sudut-sudut pada kuadran I dan II, yaitu $k=1$ sampai dengan $k=90$.
                  $\displaystyle\cos2^\circ+\cos4^\circ+\dots+\cos86^\circ+\cos88^\circ+\cos90^\circ+$
$\displaystyle\cos180^\circ+\cos178^\circ+\cos176^\circ+\dots+\cos94^\circ+\cos92^\circ$

Perhatikan nilai kosinus dari tiap pasang sudut berpelurus berikut ini. 
\begin{align*}
\cos178^\circ &= -\cos2^\circ\\
\cos176^\circ &= -\cos4^\circ\\
&\vdots\\
\cos94^\circ &= -\cos86^\circ\\
\cos92^\circ &= -\cos88^\circ
\end{align*}
Sehingga kita peroleh  $\displaystyle\cos2^\circ+\cos4^\circ+\dots+\cos88^\circ+\cos90^\circ+\cos92^\circ+\dots+\cos178^\circ+\cos180^\circ=0+(-1)=-1$.

Berikutnya kita selidiki untuk sudut-sudut pada kuadran I dan II, yaitu $k=91$ sampai dengan $k=180$.
                  $\displaystyle\cos182^\circ+\cos184^\circ+\dots+\cos266^\circ+\cos268^\circ+\cos270^\circ+$
$\displaystyle\cos360^\circ+\cos358^\circ+\cos356^\circ+\dots+\cos274^\circ+\cos272^\circ$

Perhatikan nilai kosinus dari tiap pasang sudut berpelurus berikut ini. 
\begin{align*}
\cos182^\circ &= -\cos358^\circ\\
\cos176^\circ &= -\cos356^\circ\\
&\vdots\\
\cos266^\circ &= -\cos274^\circ\\
\cos268^\circ &= -\cos272^\circ
\end{align*}
Sehingga kita peroleh  $\displaystyle\cos182^\circ+\cos184^\circ+\dots+\cos268^\circ+\cos270^\circ+\cos272^\circ+\dots+\cos358^\circ+\cos360^\circ=0+1=1$.

Dengan demikian diperoleh $\displaystyle\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ=-1+1=0$.

Karena fungsi kosinus periodik untuk $0\le k\le 360$, maka berakibat $\displaystyle\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ=0$.

$\therefore\: \displaystyle\mathbf{S=\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\sin^23^\circ+\cdots+\sin^2360^\circ=180-0=180}\qquad\blacksquare$


Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2015



Senin, 22 Juni 2015

Kamus Etimologis Istilah Matematika

Ini adalah kamus yang disusun berdasarkan pada asal-usul kata dari istilah matematika yang digunakan dalam bahasa Inggris.
etimologi/eti·mo·lo·gi/ /√©timologi/ n Ling cabang ilmu bahasa yg menyelidiki asal-usul kata serta perubahan dl bentuk dan makna;
Daftar isinya meliputi:
1.  Pendahuluan
2.  Penjelasan istilah dan lambang
3.  Kamus etimologis istilah matematika
4.  Lampiran: entri matematis yang berhubungan secara etimologis,      dikelompokkan berdasarkan akar-akar kata
5.  Daftar Rujukan

Dengan membaca buku ini kita dapat memahami secara lebih baik berbagai istilah yang sering kita temui dalam Matematika. 
Di bawah ini saya contohkan dua istilah dari buku tersebut. Dokumen yang saya susun dalam $\small\LaTeX$ melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX itu memuat gambar yang dibuat oleh paket tikz. Tentang $\small\LaTeX$ dapat Anda telusuri di sini.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015



-->

Sabtu, 23 Mei 2015

Garis-garis Khas pada Segitiga

Cukup lama juga saya tidak memperbarui tulisan di blog ini. Hal itu disebabkan oleh keasyikan saya dalam menulis $\small\LaTeX$. Bila Anda jelajahi, sebenarnya di dalam menulis $\small\LaTeX$ juga termuat beberapa materi yang berkaitan langsung dengan Matematika Sekolah.

Tulisan ini utamanya ditujukan untuk diri sendiri, sebagai "obat lupa". Materi dasar ini sangat penting tetapi sering terlupakan pada beberapa bagian. Untuk materi ini saya mengacu kepada blognya Mas Hendry. Sayang, sekitar lima tahun terakhir ini dia belum lagi memperbarui tulisannya, mungkin karena kesibukan dalam urusan pribadinya. Semua tulisan yang sudah diterbitkannya saya duga ditulisnya ketika dia masih berkuliah di Teknik Informatika dan Matematika, Universitas Bina Nusantara (BINUS).

Agar tampak "enak dibaca dan perlu", saya mereka ulang tulisan tentang Garis-garis Istimewa Segitiga...(i) dengan menggunakan $\small\LaTeX$. Isinya memuat pengertian tentang garis-garis khas pada segitiga yang disertai dengan beberapa contoh soal dan soal-soal untuk pelatihan.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015



-->

Sabtu, 21 Maret 2015

Solusi Ujian Akhir Semester Ganjil Tahun 2014/2015

Di sekolah-sekolah menengah tingkat atas, para siswa baru saja menyelesaikan Ujian Sekolah mereka untuk tahun pelajaran ini. Masih ada sisa waktu bagi mereka untuk menguatkan persiapannya dalam menghadapi Ujian Nasional.

Sehubungan dengan itu, berikut ini saya bagikan contoh soal dan jawaban Ujian Akhir Semester Ganjil Tahun 2014/2015 yang telah diujikan pada semester yang lalu. Semoga tulisan ini dapat membantu para peserta Ujian Nasional dalam penguasaan teknis menjawab soal yang berkaitan dengan materi untuk semester 5. 

Dokumen tersebut memuat butir-butir soal beserta jawabannnya yang disertai pula dengan penjelasan seperlunya. Dokumen ini saya susun dalam $\small\LaTeX$ melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX. Bila Anda sudah bekerja dengan $\small\LaTeX$ atau berminat untuk mendalami $\small\LaTeX$, silakan jelajahi bog ini.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015



-->

Minggu, 08 Februari 2015

Matematika SAT


Soal-soal untuk ujian nasional menurut rencana akan berubah mulai 2016 guna menguji kemampuan berpikir tingkat tinggi murid. Untuk menghasilkan butir-butir soal yang lebih berkualitas, model naskah soal akan dibuat sekelas The Graduate Record Examination dan The Scholastic Aptitude Test.
”Nanti akan kami undang para pembuat naskah soal GRE (The Graduate Record Examination) dan SAT (The Scholastic Aptitude Test) untuk memberikan pelatihan. Namun, ini baru akan kami lakukan tahun depan. Kalau sekarang sudah terlalu mepet waktunya,” ujar Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Anies Baswedan, Sabtu (10/1).

Demikian dikutip dari kolom Edukasi Kompas, Senin 12 Januari 2015. Apa itu SAT?

SAT adalah tes terstandar yang banyak digunakan untuk ujian masuk akademi di Amerika Serikat. SAT diperkenalkan pertama kali pada tahun 1926. Nama dan penilaiannya telah mengalami beberapa kali perubahan, semula disebut Scholastic Aptitude Test, kemudian Scholastic Assessment Test, lalu SAT Reasoning Test, dan sekarang SAT saja.
SAT dimiliki dan diterbitkan oleh College Board, sebuah organisasi nirlaba swasta di Amerika Serikat, yang dikembangkan dan dikelola atas namanya oleh Educational Testing Service (ETS). Tes ini dimaksudkan untuk menilai kesiapan siswa untuk kuliah.
SAT terakhir memerlukan waktu 3 jam 45 menit untuk menyelesaikannya dan pada 2014 memerlukan biaya $\small\$52,50$ AS (hingga $\small\$94,50$ AS di luar Amerika Serikat), tidak termasuk biaya keterlambatan. Kemungkinan skor SAT berkisar 600-2400, dengan kombinasi 800 poin dari tiga bagian: Matematika, Membaca Kritis, dan Menulis. Namun, SAT tidak mencerminkan kurikulum sekolah tinggi. Menurut College Board, SAT tidak menguji logika atau penalaran abstrak. Pengambilan SAT atau pesaingnya, ACT, dipersyaratkan kepada calon mahasiswa untuk memasuki banyak (tetapi tidak semua) perguruan tinggi di Amerika Serikat.
Pada tanggal 5 Maret 2014, College Board mengumumkan bahwa versi SAT hasil rancang ulang akan diberlakukan untuk pertama kalinya pada tahun 2016. Ujian akan kembali ke skala 1.600 poin, Uraian akan bersifat opsional, dan peserta akan memiliki 3 jam untuk menyelesaikan ujian ditambah 50 menit tambahan untuk menyelesaikan Uraian.
(Sumber: Wikipedia)

Nah, semacam apa model soal Matematika yang diu
jikan pada SAT?
Berikut ini hasil terjemahan dari Cracking the SAT Math 1 & 2 Subject Tests, 2013-2014 Edition yang saya susun dalam $\small\LaTeX$ melalui Online $\small\LaTeX$ Editor ShareLaTeX.



-->

Kemudian berikut ini perangkat ujian SAT 2014-15 seutuhnya yang saya peroleh dari situs resmi SAT, terdiri dari lembar data identitas peserta, lembar jawaban, dan naskah soal, sebagaimana tercantum dalam buku petunjuk Getting Ready for the SAT.
Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015



-->

LinkWithin

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...