Garis-garis Khas pada Segitiga

Cukup lama juga saya tidak memperbarui tulisan di blog ini. Hal itu disebabkan oleh keasyikan saya dalam menulis $\small\LaTeX$. Bila Anda jelajahi, sebenarnya di dalam menulis $\small\LaTeX$ juga termuat beberapa materi yang berkaitan langsung dengan Matematika Sekolah.

Tulisan ini utamanya ditujukan untuk diri sendiri, sebagai "obat lupa". Materi dasar ini sangat penting tetapi sering terlupakan pada beberapa bagian. Untuk materi ini saya mengacu kepada blognya Mas Hendry. Sayang, sekitar lima tahun terakhir ini dia belum lagi memperbarui tulisannya, mungkin karena kesibukan dalam urusan pribadinya. Semua tulisan yang sudah diterbitkannya saya duga ditulisnya ketika dia masih berkuliah di Teknik Informatika dan Matematika, Universitas Bina Nusantara (BINUS).

Agar tampak "enak dibaca dan perlu", saya mereka ulang tulisan tentang Garis-garis Istimewa Segitiga...(i) dengan menggunakan $\small\LaTeX$. Isinya memuat pengertian tentang garis-garis khas pada segitiga yang disertai dengan beberapa contoh soal dan soal-soal untuk pelatihan.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

-->

Solusi Ujian Akhir Semester Ganjil Tahun 2014/2015

Di sekolah-sekolah menengah tingkat atas, para siswa baru saja menyelesaikan Ujian Sekolah mereka untuk tahun pelajaran ini. Masih ada sisa waktu bagi mereka untuk menguatkan persiapannya dalam menghadapi Ujian Nasional.

Sehubungan dengan itu, berikut ini saya bagikan contoh soal dan jawaban Ujian Akhir Semester Ganjil Tahun 2014/2015 yang telah diujikan pada semester yang lalu. Semoga tulisan ini dapat membantu para peserta Ujian Nasional dalam penguasaan teknis menjawab soal yang berkaitan dengan materi untuk semester 5. 

Dokumen tersebut memuat butir-butir soal beserta jawabannnya yang disertai pula dengan penjelasan seperlunya. Dokumen ini saya susun dalam $\small\LaTeX$ melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX. Bila Anda sudah bekerja dengan $\small\LaTeX$ atau berminat untuk mendalami $\small\LaTeX$, silakan jelajahi bog ini.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

-->

Matematika SAT

Soal-soal untuk ujian nasional menurut rencana akan berubah mulai 2016 guna menguji kemampuan berpikir tingkat tinggi murid. Untuk menghasilkan butir-butir soal yang lebih berkualitas, model naskah soal akan dibuat sekelas The Graduate Record Examination dan The Scholastic Aptitude Test.
”Nanti akan kami undang para pembuat naskah soal GRE (The Graduate Record Examination) dan SAT (The Scholastic Aptitude Test) untuk memberikan pelatihan. Namun, ini baru akan kami lakukan tahun depan. Kalau sekarang sudah terlalu mepet waktunya,” ujar Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Anies Baswedan, Sabtu (10/1).

Demikian dikutip dari kolom Edukasi Kompas, Senin 12 Januari 2015. Apa itu SAT?

SAT adalah tes terstandar yang banyak digunakan untuk ujian masuk akademi di Amerika Serikat. SAT diperkenalkan pertama kali pada tahun 1926. Nama dan penilaiannya telah mengalami beberapa kali perubahan, semula disebut Scholastic Aptitude Test, kemudian Scholastic Assessment Test, lalu SAT Reasoning Test, dan sekarang SAT saja.
SAT dimiliki dan diterbitkan oleh College Board, sebuah organisasi nirlaba swasta di Amerika Serikat, yang dikembangkan dan dikelola atas namanya oleh Educational Testing Service (ETS). Tes ini dimaksudkan untuk menilai kesiapan siswa untuk kuliah.
SAT terakhir memerlukan waktu 3 jam 45 menit untuk menyelesaikannya dan pada 2014 memerlukan biaya $\small\$52,50$ AS (hingga $\small\$94,50$ AS di luar Amerika Serikat), tidak termasuk biaya keterlambatan. Kemungkinan skor SAT berkisar 600-2400, dengan kombinasi 800 poin dari tiga bagian: Matematika, Membaca Kritis, dan Menulis. Namun, SAT tidak mencerminkan kurikulum sekolah tinggi. Menurut College Board, SAT tidak menguji logika atau penalaran abstrak. Pengambilan SAT atau pesaingnya, ACT, dipersyaratkan kepada calon mahasiswa untuk memasuki banyak (tetapi tidak semua) perguruan tinggi di Amerika Serikat.
Pada tanggal 5 Maret 2014, College Board mengumumkan bahwa versi SAT hasil rancang ulang akan diberlakukan untuk pertama kalinya pada tahun 2016. Ujian akan kembali ke skala 1.600 poin, Uraian akan bersifat opsional, dan peserta akan memiliki 3 jam untuk menyelesaikan ujian ditambah 50 menit tambahan untuk menyelesaikan Uraian.
(Sumber: Wikipedia)

Nah, semacam apa model soal Matematika yang diujikan pada SAT?

Berikut ini hasil terjemahan dari Cracking the SAT Math 1 & 2 Subject Tests, 2013-2014 Edition yang saya susun dalam $\small\LaTeX$ melalui Online $\small\LaTeX$ Editor ShareLaTeX.

-->

Kemudian berikut ini perangkat ujian SAT 2014-15 seutuhnya yang saya peroleh dari situs resmi SAT, terdiri dari lembar data identitas peserta, lembar jawaban, dan naskah soal, sebagaimana tercantum dalam buku petunjuk Getting Ready for the SAT.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

-->

Soal Nilai Mutlak

Salah satu situs yang saya sukai adalah Quora. Permasalahan ini saya dapatkan dari sana. Situs tanya-jawab yang didirikan oleh dua mantan karyawan Facebook, yaitu Adam D'Angelo dan Charlie Cheever, tersebut berisi pertanyaan tentang berbagai hal (bidang) yang dibuat, dijawab, disunting dan dikelola oleh komunitas penggunanya.

Salah satu pertanyaan yang diajukan adalah sebagai berikut.

Mengapa tidak ada penyelesaian untuk persamaan $\sqrt{x^2+6x+9}=x$?  Bukankah $x=-\frac{3}{2}$ adalah penyelesaiannya?

Jawaban atas pertanyaan di atas telah saya susun dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui Online $\small\LaTeX$ Editor ShareLaTeX di bawah ini.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

-->

Solusi UN 2014 Matematika SMK Teknologi

Tulisan ini semata-mata upaya untuk berbagi dokumen (karya tulis) berupa solusi Ujian Nasional tahun 2014 untuk mata uji Matematika pada SMK Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian. Dokumen ini saya susun dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX. 

Berdasarkan Peraturan Badan Standar Nasional Pendidikan Nomor: 0027/P/BSNP/IX/2014, Kisi-kisi Ujian Nasional untuk satuan pendidikan dasar dan menengah tahun pelajaran 2014/2015 sama dengan Kisi-kisi Ujian Nasional tahun pelajaran 2013/2014. Oleh karena itu, untuk para calon peserta ujian nasional, dokumen ini dapat dijadikan acuan dalam mempelajari tipe soal yang diujikan dan teknis penyelesaiannya. Perlu saya jelaskan bahwa dalam dokumen ini saya tidak tunjukkan penyelesaian soal dengan "cara cepat", "rumus praktis", atau sebangsanya, karena saya berharap agar para siswa lebih mengutamakan pemahaman konsep materi yang diujikan. Naskah soal yang digunakan dalam penulisan dokumen ini berasal dari blog Pak anang.

Dalam dokumen ini, bagian Pembahasan memuat secara ringkas teori yang berkaitan dengan soal yang diberikan dan arah/teknis penyelesaiannya. Saya juga berharap Anda dapat memberitahukan kepada saya, melalui Pos Komentar di bawah tulisan ini, bila menemukan kesalahan dalam penulisan atau dalam menjawab soal. Dalam beberapa soal, saya telah mengubah kata/kalimatnya agar sesuai dengan kaidah tata bahasa Indonesia. Jawaban untuk tiap soal tertulis di dalam bingkai kotak yang disertai huruf tebal dari pilihan jawaban yang benar. 

Demikian semoga bermanfaat.

-->

Menentukan Persamaan Parabola dan Ellips Miring

Seorang teman mengadukan masalah ini dalam perbincangan kami di di jejaring sosial. Dua nomor soal yang diberikan adalah sebagai berikut:

1. Dengan menggunakan definisi ellips, tentukan persamaan ellips dengan fokus $F_1(0,0)$ dan $F_2(2,1)$ dan jumlah jarak titik pada ellips ke $F_1$ dan $F_2$ adalah $5$ satuan.
2. Tentukan persamaan parabola dengan direktriks $y=x$ dan fokus $(0,6)$.

Dengan menggunakan pengertian dan definisi parabola dan ellips akan diperoleh sketsa grafik seperti tampak pada gambar di atas.

Ini menjadi menarik dan menantang karena "tidak biasa", yaitu kedua kurva itu berbentuk miring.

Tentu saja, persamaan dari kedua kurva tersebut dapat diperoleh dengan mudah bila dicari dengan menggunakan, misalnya, GeoGebra. Lalu bagaimana bila kita menganalisis dan menyelesaikan soal tersebut tanpa bantuan software?

Seumpama pisau yang terlalu lama tak diasah, semula saya selesaikan kedua soal tersebut dengan lebih dulu menganggap bahwa kedua kurva tersebut mendatar. Tetapi akhirnya terkendala oleh keharusan membentuk transformasi yang justru menambah kerumitan dalam penyelesaiannya.

Setelah mengadu ke forum, barulah tersadar bahwa penyelesaiannya "cukup sederhana", yaitu dengan menggunakan definisi (seperti dimaksudkan oleh pembuat soal tersebut).

Nah, berikut ini penyelesaian selengkapnya untuk kedua soal di atas yang saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online $\small\LaTeX$ Editor ShareLaTeX.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2014

-->

Pembimbingan Belajar Akhir: Soal-soal Turunan pada UN 2013

Seperti diketahui bersama, Kisi-kisi Ujian Nasional 2014 sama persis dengan Kisi-kisi Ujian Nasional 2013. Tulisan kali ini berupa tinjauan terhadap soal-soal Turunan (Diferensial) yang diujikan pada tahun lalu untuk SMK Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian. 

Ada 3 soal Turunan dalam tiap paketnya, masing-masing berbentuk:

$\displaystyle \color{blue}{f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad \Rightarrow \qquad f'(x)= \cdots}$

$\displaystyle \color{blue}{f(x)=\textrm{sin}\ u+\textrm{cos}\ u\qquad \Rightarrow \qquad f'(x)= \cdots}$

$\displaystyle \color{blue}{f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\qquad \Rightarrow \qquad \textrm{titik stasioner?}}$

Dokumen berikut ini berisi soal-soal Turunan yang termuat dalam 5 paket UN 2013 SMK Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX.

Demikian semoga bermanfaat!

Adjie Gumarang Pujakelana 2014



-->

Pembimbingan Belajar Akhir: Turunan Fungsi Aljabar

Kalkulus memang materi matematika yang sangat menarik. Sebagai salah satu bagian dari matematika terapan, kalkulus sangat mengasyikkan ketika dipelajari. Semua materi matematika (aljabar, geometri, trigonometri, aritmatika) berpadu dalam prasyarat dalam kalkulus.

Tulisan berikut ini adalah kelanjutan dari tulisan sebelumnya tentang pembimbingan belajar akhir yang ditujukan kepada para calon peserta Ujian Nasional. Tulisan kali ini tentang Turunan Fungsi Aljabar. Tulisan ini memuat beberapa contoh soal yang diselesaikan, kemudian diakhiri dengan soal-soal yang dapat digunakan untuk menguji kompetensi atas materi ini.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX.
Demikian semoga bermanfaat!

Adjie Gumarang Pujakelana 2014



-->

Pembimbingan Belajar Akhir: Limit Fungsi Aljabar

Memasuki semester genap, waktu serasa menyesakkan oleh karena banyak kegiatan yang khas ditujukan kepada para calon peserta ujian nasional, misalnya "pengayaan" dan tryout. Beberapa waktu untuk kegiatan pembelajaran menjadi "tidak efektif" oleh adanya kegiatan-kegiatan tersebut.

Kesibukan para guru, terutama yang mengampu mata pelajaran yang diujikan pada ujian nasional, semakin bertambah. Di antaranya, menyiapkan materi "pengayaan", menyiapkan soal-soal, membuat kisi-kisi pengujian, membuat naskah soal, membuat pedoman penskoran, dan lain-lain.

Sehubungan dengan hal tersebut, berikut ini saya tampilkan salah satu bagian materi yang mendukung pelaksanaan kegiatan di atas. Tulisan kali ini tentang Limit Fungsi Aljabar. Tulisan ini memuat beberapa contoh soal yang diselesaikan, kemudian diakhiri dengan soal-soal yang dapat digunakan untuk menguji kompetensi atas materi ini.


Dokumen berikut ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX.
Demikian semoga bermanfaat!


Adjie Gumarang Pujakelana 2014

-->

Soal dan Solusi: Logaritma

Nilai logaritma itu menyatakan pangkat ketika bilangannya (numerus) dinyatakan dalam bentuk pangkat.\[\color{DarkRed}{^{a}log\ b=x\qquad \Leftrightarrow \qquad a^x=b}\]Jadi penentuan nilai logaritma tidak terlepas dari pemahaman tentang bentuk pangkat suatu bilangan.
Selain itu juga terdapat beberapa sifat yang berlaku dalam logaritma.

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang logaritma. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Persamaan Garis Lurus

Persamaan suatu garis dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk.
Bentuk umum:\[\color{DarkRed}{ax+by+c=0}\]Dalam bentuk:\[\color{DarkRed}{y=mx+c}\]nilai $\color{DarkRed}{m}$ menyatakan kemiringan (gradien) garis.
Persamaan garis melalui titik $\color{DarkRed}{(0,b)}$ dan titik $\color{DarkRed}{(a,0)}$:\[\color{DarkRed}{bx+ay=b.a}\]atau\[\color{DarkRed}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\]
Persamaan garis bergradien $\color{DarkRed}{m}$ dan melalui titik $\color{DarkRed}{(a,b)}$:\[\color{DarkRed}{y-b=m(x-a)}\]

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang persamaan garis lurus. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat \[\color{DarkRed}{y=ax^2+bx+c}\]berbentuk parabola (yang dapat terbuka ke atas atau ke bawah, dicirikan oleh tanda dari koefisien $\small\color{DarkRed}{a}$ pada persamaan fungsinya).

Materi ini sangat menarik karena dapat berpadu dengan berbagai konsep di dalam Matematika maupun mata pelajaran lainnya. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang grafik fungsi kuadrat. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Salah satu yang perlu diperhatikan ketika kita menyelesaikan suatu pertidaksamaan linear adalah perubahan tanda ketidaksamaan jika terjadi perkalian atau pembagian tiap sukunya dengan suatu bilangan negatif. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang pertidaksamaan linear satu variabel. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel 
\[\color{DarkRed}{Ax+By=C}\]

dengan koefisien-koefisien $\small A$, $\small B$, $\small C$ real membentuk grafik berupa garis lurus. Secara geometris, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel

\[\color{DarkRed}{\left\{\begin{matrix}A_1x+B_1y=C_1\\A_2x+B_2y=C_2 \end{matrix}\right.}\]

berupa titik potong dari kedua garis tersebut. Dengan demikian ada 3 kemungkinan tentang banyak penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dua variabel, yaitu:

1. memiliki tepat satu penyelesaian, jika \[\color{DarkRed}{\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}}\]
2. tidak emiliki penyelesaian, jika \[\color{DarkRed}{\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}}\]
3. memiliki tak hingga penyelesaian, jika \[\color{DarkRed}{\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}}\]

Selain  dengan menggunakan metode grafik sebagaimana digambarkan di atas, penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dua variabel juga dapat ditentukan dengan menggunakan metode eliminasi, metode substitusi, metode gabungan eliminasi dan substitusi, dan metode determinan.

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang sistem persamaan linear dua variabel. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Model Matematika

Banyak masalah dalam kehidupan terselesaikan setelah dilakukan pemodelan matematis terhadap masalah tersebut. 

Unsur-unsur yang mempengaruhi masalah itu dinyatakan dalam variabel-variabel, kemudian dibentuk sistem persamaan atau sistem pertidaksamaan yang bersesuaian dengan masalah tersebut. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang model matematika. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Nilai Optimum

Optimasi adalah materi puncak dalam konsep program linear. Materi-materi pendukung dalam konsep ini dan dipadukan pula dengan geometri analitis menjadikan optimasi sebagai materi terapan yang cukup kompleks. 
Secara sederhana teknis optimasi dapat dilakukan dengan:

• menggunakan titik uji (titik-titik sudut pada daerah feasible) untuk menentukan nilai fungsi objektif. 
• menggunakan garis selidik.

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang nilai optimum. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Operasi Matriks

Operasi aljabar pada matriks meliputi: penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
Materi ini dapat pula dipadukan dengan determinan dan invers matriks.
Operasi aljabar pada matriks yang paling rumit adalah perkalian matriks. 
Dua matriks dioperasikan oleh perkalian jika memenuhi syarat:
banyak lajur matriks-kiri = banyak baris matriks-kanan
dan ordo dari hasil kalinya ditentukan oleh:
\[\color{DarkRed}{A_{m\times k}.B_{k\times n}=C_{m\times n}}\]

Secara teknis perkalian dua matriks adalah operasi antara baris dari matriks-kiri terhadap lajur pada matriks-kanan. Sebagai contoh:
\[\color{DarkRed}{\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1.b_1 & a_1.b_2 & a_1.b_3\\ a_2.b_1 & a_2.b_2 & a_2.b_3\\ a_3.b_1 & a_3.b_2 & a_3.b_3 \end{pmatrix}}\]

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang operasi matriks. Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 

Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Operasi Vektor

Operasi aljabar pada vektor meliputi: penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
Khusus dalam konsep vektor, tidak ada operasi pembagian dan operasi perkalian terdiri dari perkalian titik dan perkalian silang.
\[\bar{a}=\left ( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix} \right )\qquad \bar{b}=\left ( \begin{matrix} x_2\\ y_2\\ y_3 \end{matrix} \right )\]

\[\color{DarkRed}{\bar{a}.\bar{b}=x_1.x_2+y_1.y_2+z_1.z_2}\]

\[\color{DarkRed}{\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix}=\begin{pmatrix}y_1.z_2-z_1.y_2\\ x_1.z_2-z_1.x_2\\ x_1.y_2-y_1.x_2\end{pmatrix}}\]

Hanya saja, di sekolah menengah, perkalian silang masih tergolong ke dalam materi pengayaan, bukan materi pokok. 

Selain itu operasi aljabar vektor dapat pula ditinjau secara geometris. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang operasi vektor.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->