Irisan kerucut #7

Elips

Definisi

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap.

Dua titik tertentu itu masing-masing disebut titik fokus (F).

Misalkan kedua titik fokus itu F₁ dan F₂ dengan jarak F₁F₂ = 2c, c > 0.

Jika titik P terletak pada elips maka PF1 + PF2 = 2a dengan a > 0 dan 2a > 2c.

O disebut titik pusat elips. A₁, A₂, B₁, B₂ disebut titik-titik puncak elips. Garis g disebut sumbu utama. Garis h disebut sumbu sekawan. Ruas garis A₁A₂ disebut sumbu panjang (sumbu mayor). Ruas garis B₁B₂ disebut sumbu pendek (sumbu minor).

Keterangan:

(1)   Garis yang melalui F₁ dan F₂ disebut sumbu utama (transversal axis). Sumbu utama memotong elips pada dua titik puncak A₁ dan A₂. Ruas garis A₁A₂ disebut sumbu panjang (major axis). Panjang sumbu mayor = 2a.

(2)   Garis yang memotong tegak lurus ruas garis F₁F₂ pada titik tengahnya disebut sumbu sekawan (conjugate axis). Sumbu sekawan memotong elips pada dua titik puncak B₁ dan B₂. Ruas garis B₁B₂ disebut sumbu pendek (minor axis). Panjang sumbu minor = 2b.

(3)   Sumbu mayor dan sumbu minor berpotongan di tengah-tengah elips. Titik potongnya itu disebut titik pusat elips. Titik pusat elips merupakan titik tengah ruas garis F₁F₂.

(4)   Karena memiliki dua titik fokus maka elips memiliki dua latus rectum. Panjang latus rectum =$latex \frac{2b^2}{a}$.

(5)   Hubungan antara nilai a, b, dan c.

Perhatikan gambar elips di atas!

Misalkan titik P terletak pada elips dan jarak kedua fokus F₁F₂ = 2c, maka:
PF₁ + PF₂ = 2a
OF₁ = OF₂ = c
B₁F₁ = B₁F₂ = B₂F₁ = B₂F₂ = a

OB₁ = OB₂ = b

Dari segitiga B₂F₁O siku-siku di O diperoleh a² = b² + c².

(6)   Eksentrisitas$latex e=\frac{c}{a}$dengan$latex 0<\frac{c}{a}<1$.

Melukis elips (manual)

1)    Buatlah lingkaran-lingkaran berpusat di F₁ dan berjari-jari r_i, dengan a – c ≤ ri ≤ a + c (nilai a dipilih sembarang).

2)    Buatlah lingkaran-lingkaran berpusat di F₂ dan berjari-jari r_j, dengan r_j = 2a – r_i.

3)    Tentukan titik potong dari tiap pasang lingkaran pada 1) dan 2).

4)    Hubungkan titik-titik potong tersebut.

Contoh:

Misalkan F₁F₂ = 2c = 8 dan 2a = 10 maka c = 4, a = 5, a – c =1, dan a + c = 9.

ri	1	2	3	4	5	6	7	8	9
rj	9	8	7	6	5	4	3	2	1