Trigonometri #2

2.       Rumus-rumus Kuadrat

Dalil Pythagoras: $latex \bf{a^2+b^2=c^2}\qquad .......................\ (*)$

o   Kedua ruas (*) dibagi oleh $latex c^2$

$latex \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1$

$latex \Big(\frac{a}{c}\Big)^2+\Big(\frac{b}{c}\Big)^2=1$

$latex \bf{sin^2\alpha +cos^2\alpha =1}$

o   Kedua ruas (*) dibagi oleh $latex b^2$

$latex \frac{a^2}{b^2}+1 =\frac{c^2}{b^2}$

$latex \Big(\frac{a}{b}\Big)^2+1=\Big(\frac{c}{b}\Big)^2$

$latex \bf{tan^2\alpha +1=sec^2\alpha }$

o   Kedua ruas (*) dibagi oleh $latex a^2$

$latex 1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{c^2}{a^2}$

$latex 1+\Big(\frac{b}{a}\Big)^2=\Big(\frac{c}{a}\Big)^2$

$latex \bf{1+cot^2\alpha =csc^2\alpha }$

Rumus lainnya:

$latex \frac{sin\alpha }{cos\alpha }=tan\alpha $

$latex \frac{cos\alpha }{sin\alpha }=cot\alpha $

Contoh

Berikut ini jawaban untuk soal dari contoh sebelumnya dengan menggunakan rumus.

$latex tanx=p\qquad \Rightarrow \qquad cotx=\frac{1}{p}$

$latex \begin{array}{rcl}tan^{2}x+1&=&sec^{2}x\\p^{2}+1&=&sec^{2}x\\secx&=&\sqrt{p^{2}+1}\end{array}$

$latex cosx=\frac{1}{\sqrt{p^{2}+1}}$

$latex \begin{array}{rcl}1+cot^{2}x&=&csc^{2}x\\\\1+\frac{1}{p^2}&=&csc^{2}x\\\\csc^{2}x&=&\frac{p^{2}+1}{p^2}\\\\cscx&=&\frac{\sqrt{p^{2}+1}}{p}\end{array}$

$latex sinx=\frac{p}{\sqrt{p^2+1}}$

Contoh Soal

1.        Buktikan $latex \frac{tanx}{cscx}=(1-cos^{2}x)secx$

Bukti:

(Petunjuk: kerjakan ruas kiri, nyatakan setiap perbandingan dalam bentuk sinus dan kosinus)

$latex \large{\begin{array}{rcl}\frac{tanx}{cscx}&=&\frac{\frac{sinx}{cosx}}{\frac{1}{sinx}}\\\\&=&sinx\ .\ \frac{sinx}{cosx}\\\\&=&sin^2x\ .\ \frac{1}{cosx}\\\\&=&(1-cos^{2}x)secx\end{array}}$

Terbukti

2.      Buktikan $latex (tanx+cotx)sinx\ cosx=1$

Bukti:

$latex \large{\begin{array}{rcl}(tanx+cotx)sinx\ cosx &=&\bigg(\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}\bigg)sinx\ cosx\\\\&=&\bigg(\frac{sin^2x+cos2x}{sinx.cosx}\bigg)sinx\ cosx\\\\&=&1\end{array}}$

Terbukti

3.      Jika $latex sinx=\text{p}+1$, mungkinkah $latex cosx=\text{p}-1$ ?

Jawaban:

Misalkan $latex sinx=\text{p}+1$ dan $latex cosx=\text{p}-1$, maka

$latex \begin{array}{rcl}sin^2x+cos^2x&=&(p+1)^2+(p-1)^2\\\\1&=&(p^2+2p+1)+(p^2-2p+1)\\\\1&=&2p^2+2\\\\p^2+1&=&\frac{1}{2}\\\\p^2&=&-\frac{1}{2}\end{array}$

Hasil terakhir menunjukkan hal yang mustahil.

Jadi tidak mungkin $latex cosx=\text{p}-1$.

Adjie Gumarang Pujakelana, 2013

-->