Trigonometri #1

1.       Perbandingan Trigonometri

Perbandingan trigonometri adalah perbandingan panjang dari dua ruas garis untuk menentukan suatu sudut lancip.

Misalkan suatu sudut lancip $latex \alpha$ terletak dalam suatu segitiga siku-siku sebagai berikut.

Pada suatu kaki sudut $latex \alpha$ diambil suatu titik $latex P$, lalu dari $latex P$ diturunkan garis $latex \overleftrightarrow{PQ}$ tegak lurus pada kaki yang lainnya.

Perbandingan sebarang dua sisi di dalam segitiga $latex \text{OPQ}$ tidak bergantung dari letak titik P. Dengan lain perkataan, nilai perbandingan tersebut adalah konstan. Misalnya, $latex \frac{PQ}{OP}=\frac{P^{\prime}Q^\prime}{OP^\prime}=\frac{P^{\prime\prime}Q^{\prime\prime}}{OP^{\prime\prime}}=....\quad konstan$.

Demikian pula dengan perbandingan-perbandingan yang lainnya.

Keseluruhannya ada 6 macam perbandingan:

(1) $latex \frac{PQ}{OP}$ disebut $latex sine\alpha$, disingkat $latex sin\alpha$

(2) $latex \frac{OQ}{OP}$ disebut $latex cosine\alpha$, disingkat $latex cos\alpha$

(3) $latex \frac{PQ}{OQ}$ disebut $latex tangent\alpha$, disingkat $latex tan\alpha$

(4) $latex \frac{OQ}{PQ}$ disebut $latex cotangent\alpha$, disingkat $latex cot\alpha$

(5) $latex \frac{OP}{OQ}$ disebut $latex secant\alpha$, disingkat $latex sec\alpha$

(6) $latex \frac{OP}{PQ}$ disebut $latex cosecant\alpha$, disingkat $latex csc\alpha$

Jika sudut lancip $latex \alpha$ diketahui maka keenam perbandingan tersebut memiliki nilai tertentu. Sebaliknya, jika salah satu dari keenam perbandingan tersebut diketahui maka sudut lancip $latex \alpha$ dapat ditentukan (melalui suatu konstruksi atau dengan bantuan suatu tabel).

Contoh

Untuk sudut lancip $latex \alpha$ diketahui $latex sin\alpha =\frac{2}{3}$  maka $latex \alpha$ adalah sudut lancip di dalam segitiga $latex \text{OPQ}$ siku-siku di $latex Q$ dengan $latex P\:Q:=2\:3$.

Dua Sifat

Kedua sifat yang berlaku pada segitiga siku-siku berikut ini menyatakan hubungan antara panjang sisi segitiga dengan sinus (sine), kosinus (cosine), tangen (tangent), dan kotangen (cotangent).

Sifat 1

Sisi siku = sisi miring dikali sinus sudut yang berhadapan dengan sisi siku tersebut

atau

Sisi siku = sisi miring dikali kosinus sudut yang diapit oleh sisi siku tersebut

$latex \frac{a}{c}=sin\alpha \qquad \Rightarrow \qquad a=c\ sin\alpha$

$latex \frac{b}{c}=cos\alpha \qquad \Rightarrow \qquad b=c\ cos\alpha$

Sifat 2

Sisi siku = sisi siku lainnya dikali tangen sudut yang berhadapan dengan sisi siku tersebut

atau

Sisi siku = sisi siku lainnya dikali kotangen sudut yang diapit oleh sisi siku tersebut

$latex \frac{a}{b}=tan\alpha \qquad \Rightarrow \qquad a=b\ tan\alpha$

$latex \frac{b}{a}=cot\alpha \qquad \Rightarrow \qquad b=a\ cot\alpha$

Antarperbandingan trigonometri berlaku hubungan sebagai berikut:

$latex sin\alpha . csc\alpha =1$

$latex cos\alpha . sec\alpha =1$

$latex tan\alpha . cot\alpha =1$

Jika salah satu dari keenam perbandingan trigonometri diketahui maka yang lainnya dapat ditentukan. Untuk ini dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan gambar atau dengan menggunakan rumus. Dalam hal ini cara kedua dianggap lebih baik.

Contoh
Untuk sudut lancip $latex x$ diketahui  $latex tanx=\text{p}$. Tentukanlah perbandingan-perbandingan trigonometri lainnya.

Jawaban:

Soal ini akan dijawab dengan menggunakan gambar sebagai berikut.

$latex tanx=p=\frac{p}{1}\qquad \Rightarrow \qquad OP=\sqrt{p^2+1}$

$latex cotx=\frac{1}{p}$

$latex sinx=\frac{p}{\sqrt{p^2+1}}$

$latex cscx=\frac{\sqrt{p^2+1}}{p}$

$latex cosx=\frac{1}{\sqrt{p^2+1}}$

$latex secx=\frac{\sqrt{p^2+1}}{1}=\sqrt{p^2+1}$

Adjie Gumarang Pujakelana, 2013

-->