Teori
bilangan mengkaji sifat-sifat bilangan asli (bilangan bulat positif) dan
umumnya sifat-sifat bilangan bulat.
N
= {1, 2, 3, …} disebut himpunan bilangan asli/bilangan bulat positif
Z
= {0, ±1, ±2, ±3, …} disebut himpunan bilangan bulat.
Dalam
membuktikan sifat-sifat bilangan tersebut terdapat dua konsep dasar yang berperan
penting.
(1) Prinsip Urutan Rapi (Well-ordering principle – WOP)
Setiap
himpunan tak kosong dari bilangan asli mengandung/memuat unsur terkecil.
|
(2) Induksi Matematika
Andai
S suatu himpunan bilangan bulat positif.
Jika
S mengandung 1 (1 Î S) dan S
mengandung n + 1 Jika S mengandung n (n Î S ® n + 1 Î S), maka S
mengandung semua bilangan bulat positif (S É N).
Karena
S Ì N dan juga N Ì S, maka N = S.
|
Teorema
Tidak
ada suatu bilangan bulat positif antara 0 dan 1.
|
Bukti:
(Kita
akan melakukan pembuktian secara tak langsung, reductio ad absurdum, yang secara harfiah berarti “mengembalikan
kepada hal yang aneh”.)
Umpamakan
bahwa ada suatu bilangan bulat positif c antara 0 dan 1; maka 0 < c < 1.
Jika S himpunan semua bilangan bulat positif antara 0 dan 1
maka S tak kosong, karena c Î S, sehingga
menurut WOP, S mengandung unsur terkecil, sebutlah m. Jadi 0 < m < 1 ………………….. (*)
Hasil
kali (*) dengan m > 0 diperoleh 0 < m2 < m ………………….. (**)
Dari
(*) dan (**) diperoleh 0 < m2 < m < 1.
Pernyataan
m2 < m bertentangan, karena diketahui bahwa m adalah bilangan
terkecil. Jadi perumpamaan di atas salah.
Kesimpulan:
tidak ada bilangan bulat positif antara 0 dan 1.
Penggunaan
Prinsip Induksi Matematika
(Prinsip induksi matematika biasa disebut cara
pembuktian/metode induksi lengkap.)
Andaikan
P(n) suatu fungsi pernyataan (proposisi) dengan N sebagai domainnya. Berarti,
P(n) benar atau salah untuk setiap n Î N.
Untuk
membuktikan bahwa P(n) benar untuk setiap n Î N, kita
lakukan hal berikut.
Tunjukkan
bahwa P(1) benar.
Tunjukkan
P(n + 1) benar jika P(n) benar.
Jadi
P(n) benar untuk setiap n Î N.
|
Keterangan:
Misalkan
S himpunan semua bilangan asli n ' P(n) benar. Jelas S tak kosong, karena 1 Î S.
Jika
n Î S, yang berarti P(n) benar, maka n +
1 Î S, yang berarti P(n + 1) benar.
Contoh
1
Buktikan
bahwa 1 + 3 + 5 + …. + (2n – 1) = n2.
Bukti:
Untuk
n = 1, maka 1 = 12; ini benar.
Misalkan
rumus di atas benar untuk n, jadi 1 + 3 + 5 + …. + (2n – 1) = n2.
Kita
periksa apakah rumus itu benar pula untuk n + 1, maka:
1
+ 3 + 5 + …. + (2n – 1) + [2(n + 1) – 1] = (n + 1)2
n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
Ternyata
rumus itu benar untuk n + 1.
\ Rumus itu benar untuk setiap bilangan asli.
Contoh
2
Jika
a dan b bilangan
bulat positif dan a < b, maka an < bn.
Bukti:
Untuk
n = 1, maka a1 < b1 sehingga a < b; ini benar,
karena diketahui demikian.
Misalkan
rumus di atas benar untuk n, sehingga an < bn, maka:
a.an
< a.bn
an
+ 1 < a.bn < b.bn
an
+ 1 < bn + 1
\ Ketaksamaan itu benar untuk setiap n
Î N.
Contoh
3
Jika
1 + h ³ 0 (atau h ³ -1), maka (1 + h)n
³ 1 + nh, n Î N. (Ketaksamaan
Bernoulli)
Bukti:
Untuk
n = 1, maka (1 + h)1 ³ 1 + 1.h atau (1 + h)
³ 1 + h sehingga a < b; ini benar, yang
berlaku tanda “=”.
Misalkan
ketaksamaan itu benar untuk n, sehingga (1 + h)n ³ 1 + nh, maka:
(1
+ h)n + 1 = (1 + h)(1 + h)n ³ (1 + h)(1 + nh)
(1
+ h)n + 1 ³ 1 + nh + h + nh2
(1
+ h)n + 1 ³ 1 + (n + 1)h + nh2 ³ 1 + (n + 1)h
(1
+ h)n + 1 ³ 1 + (n + 1)h
Ternyata
ketaksamaan itu benar untuk n + 1.
\ Ketaksamaan itu benar untuk setiap n
Î N.
Keterbagian
Definisi
Jika
a dan b bilangan bulat, maka dikatakan bahwa “a membagi b” - maksudnya “membagi habis” - jika dan hanya
jika ada bilangan bulat x sedemikian sehingga b = ax.
a
disebut “pembagi” atau “faktor” dari b; sebaliknya,
b
disebut suatu “kelipatan” dari a.
“a membagi b”
dilambangkan dengan a\b.
|
Jika a\b maka ±a\±b.
Keterangan:
Karena
a\b maka b = ax sehingga:
-b = -ax yang berarti
-a\-b
-b = a(-x) = ay yang
berarti a\-b
b
= -a(-x) = - ay yang berarti
-a\b
a\b hanya ada artinya (terdefinisi)
jika a ≠ 0.
Keterangan:
Jika
a ≠ 0 dan b = 0
maka a\0
selalu benar, karena 0 = a.0.
Jika
a ≠ 0, b
sebarang, dan a\b maka $x ' b = ax.
Dalam
hal ini x tunggal (hanya ada
satu nilai x).
Misalkan
b = ax1 = ax2 maka:
ax1 = ax2
ax1 - ax2 = 0
a(x1 - x2) = 0
x1 - x2 = 0 karena
a
≠ 0
x1 = x2
Sekiranya
a = 0 dan b = 0 maka b = ax jika dan hanya jika 0 = 0.x, dipenuhi oleh tak
hingga banyak nilai x (tidak tunggal).
Andaikan
a, b, c, x, dan y bilangan bulat.
Teorema 1 – 1
Jika
a\b maka a\bc.
|
Bukti:
a\b
maka b
= ax
bc
= acx
bc
= a(cx)
\ a\bc.
Teorema 2 –
1
Jika
a\b dan b\c maka a\c.
|
Bukti:
a\b
maka b
= ax
b\c
maka c
= by = axy = a(xy)
\ a\c.
Teorema 3 –
1
Jika
a\b dan a\c maka a\(bx + cy).
|
Bukti:
a\b
maka b
= ap sehingga
bx = axp ………………….. (i)
a\c
maka c
= aq sehingga
cy = ayq ………………….. (ii)
Dari
(i) dan (ii) diperoleh bx + cy = axp + ayq = a(xp + yq).
\ a\(bx + cy).
Teorema 4 –
1
Jika
a\b dan b\a maka a = ±b.
|
Bukti:
a\b
maka b
= ap ………………….. (i)
b\a
maka a
= bq ………………….. (ii)
Dari
(i) dan (ii) diperoleh ab = abpq sehingga p =1 dan q = 1, atau p = -1 dan q = -1.
Karena
a = bq maka:
untuk
q = 1
diperoleh a = b.
untuk
q = -1 diperoleh a
= -b.
\ a = ±b.
Teorema 5 –
1
Jika
a\b dan a > 0, b > 0, maka a
£ b.
|
Bukti:
a\b
maka b
= ax dengan
x ³ 1
Untuk
x = 1
diperoleh b = a ………………….. (i)
Untuk
x > 1
diperoleh b = a(1 + p) = a + ap sehingga b > a ………………….. (ii)
\ Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa b ³ a atau a £
b.
Teorema 6 –
1
Jika
a\b maka | a | £
|
b
|, dengan a ≠ 0 dan b ≠ 0.
|
Bukti:
a\b
maka ±a\±b sehingga
| a | \ | b |
\ Berdasarkan teorema 5-1 disimpulkan bahwa | a | £ | b |.
Teorema 7 –
1
Andaikan
diketahui a ≠ 0 dan barisan bilangan 0, 1, 2, …, (| a | - 1).
Jika r1 dan r2
adalah unsur barisan tersebut, maka | r1
– r2 | bukan
kelipatan dari a.
|
Bukti:
Misalkan r1 > r2 maka | r1
– r2 | = r1
– r2 karena r1 – r2 > 0, sehingga diperoleh:
0
< r1 – r2
< r1 < r1 < | a | - 1 < | a |
0
< r1 – r2 < | a |
| a | > r1 – r2
Dengan
demikian | a | tidak membagi r1
– r2 maka tidak ada k sedemikian sehingga r1 – r2
= ka.
\ r1
– r2 bukan kelipatan dari a.
_____________________________________________________________________________________________________
Kuliah
1 Teori bilangan oleh Drs. Bachtiar Sjarif, Institut Teknologi Bandung, 26
November 1988
-->
Tidak ada komentar:
Posting Komentar