Algoritma Pembagian
Jika a dan b bilangan bulat, b > 0, ada bilangan bulat q dan r demikian sehingga a = qb + r dengan 0 £ r < b.
|
Karena b adalah bilangan bulat dan b > 0 maka b ³ 1, sehingga:
- | a | b £ - | a | .
- | a | b £ - | a |
- | a | b £ a hal ini karena b >
a - [ - | a | b ] ³
a - x ³ 0
- | a | b £ - | a | .
- | a | b £ - | a |
- | a | b £ a hal ini karena b >
a - [ - | a | b ] ³
a - x ³ 0
Jadi terdapat himpunan semua bilangan bulat S yang berbentuk a - x ³ 0 dan tak kosong, karena x = - | a | b memenuhi.
Dengan demikian, menurut WOP, S mengandung bilangan bulat terkecil, sebutlah a – qb dan a – qb ³ 0.
Misalkan a – qb = r, sehingga r ³ 0, maka a = qb + r.
Sekiranya r ³ b maka haruslah r = b + t dengan t ³ 0, sehingga:
a = qb + b + ta = (q + 1)b + t
a – (q + 1)b = t
Karena t = a – (q + 1)b dan t ³ 0, maka t Î S. Hal ini bertentangan, karena diketahui bilangan bulat terkecil adalah a – qb, sehingga haruslah r < b.
Karena t = a – (q + 1)b dan t ³ 0, maka t Î S. Hal ini bertentangan, karena diketahui bilangan bulat terkecil adalah a – qb, sehingga haruslah r < b.
Perluasan Teorema 7 – 1 (Bentuk Umum)
Jika a dan b bilangan bulat, b ≠ 0, maka ada bilangan bulat q dan r demikian sehingga a = qb + r dengan 0 £ r < | b |.
|
Keterangan:
Di dalam a = qb + r dengan 0 £ r < b, masing-masing q dan r tunggal.
(Untuk b < 0, sehingga –b > 0, maka a = q(–b) + r dengan 0 £ r < –b.)
Misalkan
a = q1b + r1 dengan 0 £ r1 < b dan
a = q2b + r2 dengan 0 £ r2 < b
Akan dibuktikan bahwa q1 = q2 dan r1 = r2.
Dari nilai a diperoleh:q1b + r1 = q2b + r2
(q1 - q2)b = r2 - r1
Tampak bahwa r2 - r1 kelipatan dari b, padahal | r2 - r1 | < | b | = b (karena b > 0).
Hal ini hanya mungkin terjadi jika r2 - r1 = 0 atau r1 = r2 sehingga:
(q1 - q2)b = 0
q1 - q2 = 0 karena b ≠ 0
q1 = q2
Contoh 1
Diketahui a\b dan $c ' a\(b + c).
Buktikan bahwa a\c.
Bukti:
a\b maka $k ' b = ra …………………. (i)
a\(b + c) maka $m ' b + c = ma …………………. (ii)
Substitusi (i) ke (ii) menghasilkan:
ka + c = ma
c = (m – k)a
\
Contoh 2
Diketahui a > 0 dan 2 maka, menurut algoritma pembagian, $q dan $r ' a = q.2 + r dengan 0 £ r < 2.
Dalam hal ini r = 0 atau r = 1 sehingga diperoleh:
a = 2q (a genap), atau
a = 2q + 1 (a ganjil)
\ Setiap bilangan bulat positif adalah genap atau ganjil; dan 0 adalah genap karena 0 = 2.0.
_____________________________________________________________________________________________________
Kuliah 2 Teori bilangan oleh Drs. Bachtiar Sjarif, Institut Teknologi Bandung, 30 November 1988
-->
Tidak ada komentar:
Posting Komentar