Barisan dan Deret #2

Barisan Aritmatika Bertingkat

Misalkan ada barisan$latex U_{1}, U_{2},\ U_{3},\ ...,\ U_{n}$bukan merupakan barisan aritmatika sebab $latex U_{n}-U_{n-1}$ tidak konstan, tetapi jika:          

$latex D_{1}(n)=S_{n}-S_{n-1}$

$latex D_{2}(n)=D_{1}(n)-D_{1}(n-1)$

$latex ...$

dan seterusnya sampai pada suatu saat$latex D_{k}(n)-D_{k}(n-1)$bernilai konstan, maka kita peroleh rumus jumlah$latex n$suku pertama barisan tersebut merupakan polinomial berderajat (berpangkat)$latex n$.

-->

Contoh:

Diketahui barisan$latex 1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\ ...$.

Tentukan rumus jumlah$latex n$suku pertama.

Solusi :

Barisan$latex 1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\ ...$bukan barisan aritmatika, tetapi

$latex U_{1}=1$

$latex U_{2}=1+2$

$latex U_{3}=1+2+3$

$latex U_{4}=1+2+3+4$

$latex U_{5}=1+2+3+4+5$

$latex U_{6}=1+2+3+4+5+6$

$latex ...$

suku ke-$latex n$barisan tersebut merupakan jumlah$latex n$suku pertama dari barisan

$latex 1,\ 2,\ 3,\ ...,\ n$

yang merupakan barisan aritmatika.

Dengan demikian barisan pada soal tersebut dapat dianggap sebagai$latex barisan\ aritmatika\ bertingkat$.

$latex n$	$latex S_{n}$	$latex D_{1}(n)=S_{n}-S_{n-1}$	$latex D_{2}(n)=D_{1}(n)-D_{1}(n-1)$	$latex D_{3}(n)=D_{2}(n)-D_{2}(n-1)$
$latex 1$	$latex 1$
$latex 2$	$latex 4$	$latex 3$
$latex 3$	$latex 10$	$latex 6$	$latex 3$
$latex 4$	$latex 20$	$latex 10$	$latex 4$	$latex 1$
$latex 5$	$latex 35$	$latex 15$	$latex 5$	$latex 1$

Karena$latex D_{3}(n)$konstan maka$latex S_{n}$merupakan polinomial berderajat 3. Misalkan$latex S_{n}=an^3+bn^2+cn+d$.

$latex n$	$latex S_{n}$	$latex D_{1}(n)=S_{n}-S_{n-1}$	$latex D_{2}(n)=D_{1}(n)-D_{1}(n-1)$	$latex D_{3}(n)=D_{2}(n)-D_{2}(n-1)$
$latex 1$	$latex a+b+c+d$
$latex 2$	$latex 8a+4b+2c+d$	$latex 7a+3b+c$
$latex 3$	$latex 27a+9b+3c+d$	$latex 19a+5b+c$	$latex 12a+2b$
$latex 4$	$latex 64a+16b+4c+d$	$latex 37a+7b+c$	$latex 18a+2b$	$latex 6a$
$latex 5$	$latex 125a+25b+5c+d$	$latex 61a+9b+c$	$latex 24a+2b$	$latex 6a$

Dari kedua tabel diperoleh:

$latex 6a=1\qquad \Rightarrow \qquad a=\frac{1}{6}$

$latex 12a+2b=3\qquad \Rightarrow \qquad b=\frac{1}{2}$

$latex 7a+3b+c=3\qquad \Rightarrow \qquad c=\frac{1}{3}$

$latex a+b+c+d=1\qquad \Rightarrow \qquad d=0$

Jadi rumus jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah$latex S_{n}=\frac{1}{6}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

-->