Barisan dan Deret #3

Barisan Geometri Tak Hingga

Perhatikan rumus jumlah$latex n$suku pertama pada deret geometri, $latex S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ dengan $latexr\neq1$. 
Untuk$latex -1<r<1$, jika$latex n\rightarrow \infty $maka$latex r^n\rightarrow 0$sehingga $latex S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$.

-->

Deret Lainnya dan Bentuk Tak Hingga

Suatu barisan/deret tidak selalu berupa barisan/deret aritmatika atau geometri.
Contoh:
Barisan$latex 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ ...$
tiap suku merupakan hasil penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya.

Untuk menyelesaikan persoalan yang ditanyakan memerlukan pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut.

Beberapa contoh rumus deret lainnya:
$latex 1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$latex 1^3+2^3+3^3+...+n^3=\Bigg(\frac{n(n+1}{2}\Bigg)^2$

Berikut ini bentuk-bentuk tak hingga yang dapat diselesaikan dengan memisalkan dengan suatu variabel.

Contoh 1:
Hitunglah niai dari 
$latex \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}}$
Jawaban:
Misalkan 
$latex \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}}=x$
Jika kedua ruas dikuadratkan, maka:
$latex \begin{array}{rcl}2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}&=&x^2\\2x&=&x^2\\x^2-2x&=&0\\x(x-2)&=&0\\x=0&atau&x=2\end{array}$
Jadi
$latex \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}}=2$


Contoh 2:
Hitunglah Bentuk tak hingga
$latex 2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{...}}}$
Jawaban:
Misalkan 
$latex 2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{...}}}=x$
sehingga diperoleh:
$latex \begin{array}{rcl}2+\frac{3}{x}&=&x\\2x+3&=&x^2\\x^2-2x-3&=&0\\(x-3)(x+1)&=&0\\x=3&atau&x=-1\end{array}$
Jadi
$latex 2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{...}}}=3$

-->