Barisan dan Deret #4 (T.A.M.A.T)

Prinsip Teleskopik

Prinsip teleskopik banyak digunakan untuk menyederhanakan suatu deret. Ada dua bentuk umum yang dikenal, yaitu penjumlahan dan perkalian sebagai berikut.

$latex \sum_{i=1}^{n}(a_{i+1}-a_{1})=(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{1})+(a_{4}-a_{1})+...+(a_{n+1}-a_{1})=(a_{n+1}-a_{1})$

$latex \prod_{i=1}^{n}\frac{a_{i+1}}{a_{i}}=\frac{a_{2}}{a_{1}}\times\frac{a_{3}}{a_{2}}\times\frac{a_{4}}{a_{3}}\times...\times\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\times\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{a_{n+1}}{a_{1}}$

Contoh 1:

$latex \begin{array}{rcl}\big(1-\frac{1}{3}\big)\big(1-\frac{1}{5}\big)\big(1-\frac{1}{7}\big)...\big(1-\frac{1}{2003}\big)\big(1-\frac{1}{2005}\big)\big(1+\frac{1}{2}\big)\big(1+\frac{1}{4}\big)\big(1+\frac{1}{6}\big)...\big(1+\frac{1}{2004}\big)\big(1+\frac{1}{2006}\big)&=&....\end{array}$

Jawaban:

Misalkan

$latex \begin{array}{rcl}S&=&\big(1-\frac{1}{3}\big)\big(1-\frac{1}{5}\big)\big(1-\frac{1}{7}\big)...\big(1-\frac{1}{2003}\big)\big(1-\frac{1}{2005}\big)\big(1+\frac{1}{2}\big)\big(1+\frac{1}{4}\big)\big(1+\frac{1}{6}\big)...\big(1+\frac{1}{2004}\big)\big(1+\frac{1}{2006}\big)\end{array}$

maka

$latex S=\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{7}\times...\times\frac{2004}{2005}\times\frac{3}{2}\times\frac{5}{4}\times\frac{7}{6}\times...\times\frac{2007}{2006}$

$latex S=\frac{2}{3}\times\frac{3}{2}\times\frac{4}{5}\times\frac{5}{4}\times\frac{6}{7}\times\frac{7}{6}\times...\times\frac{2004}{2005}\times\frac{2005}{2004}\times\frac{2007}{2006}$

$latex S=\frac{2007}{2006}$

Contoh 2:

Tentukan nilai dari

$latex \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2005.2006}$

Jawaban:

(soal ini merupakan contoh penerapan prinsip teleskopik)

$latex \frac{1}{1.2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2},\ \ \ \frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\ \ \ \frac{1}{3.4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},\ \ \ ...,\ \ \ \frac{1}{2005.2006}=\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}$

sehingga diperoleh

$latex \begin{array}{rcl}\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2005.2006}&=&\big(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\big)+\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\big)+\big(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\big)+\big(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\big)+...+\big(\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}\big)\\\\&=&1-\frac{1}{2006}\\\\&=&\frac{2005}{2006}\end{array}$

Contoh 3:

Buktikan bahwa

$latex \frac{1}{1999}<\frac{1}{2}\ .\ \frac{3}{4}\ .\ \frac{5}{6}\ .\ ...\ .\ \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44}$

Jawaban:

Misalkan

$latex P=\frac{1}{2}\ .\ \frac{3}{4}\ .\ \frac{5}{6}\ .\ ...\ .\ \frac{1997}{1998}$  dan $latex Q=\frac{2}{3}\ .\ \frac{4}{5}\ .\ \frac{6}{7}\ .\ ...\ .\ \frac{1998}{1999}$

maka diperoleh

$latex \begin{array}{rcl}PQ&=&\frac{1}{2}\ .\ \frac{3}{4}\ .\ \frac{5}{6}\ .\ ...\ .\ \frac{1997}{1998}.\frac{2}{3}\ .\ \frac{4}{5}\ .\ \frac{6}{7}\ .\ ...\ .\ \frac{1998}{1999}\\\\&=&\frac{1}{2}\ .\ \frac{2}{3}\ .\ \frac{3}{4}\ .\ \frac{4}{5}\ .\ \frac{5}{6}\ .\ \frac{6}{7}\ .\ ...\ .\ \frac{1997}{1998}\ .\ \frac{1998}{1999}\\\\&=&\frac{1}{1999}\end{array}$

Bandingkan secara berurutan sepasang faktor dari$latex P$dan$latex Q$, maka jelaslah$latex P<Q$sehingga diperoleh

$latex P^2<PQ$

$latex P^2<\frac{1}{1999}$

Karena$latex 44^2=1936$maka diperoleh 

$latex P^2<\frac{1}{1999}<\frac{1}{44^2}$
$latex P<\frac{1}{44}$ ........................................... (*)

Bandingkan secara berurutan sepasang faktor dari$latex P$dan$latex \frac{1}{3}\ .\ \frac{3}{5}\ .\ \frac{5}{7}\ .\ ...\ .\ \frac{1997}{1999}=\frac{1}{1999}$, maka jelaslah

$latex P>\frac{1}{1999}$ ........................................... (**)

Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh

$latex \frac{1}{1999}<P<\frac{1}{44}$
$latex \frac{1}{1999}<\frac{1}{2}\ .\ \frac{3}{4}\ .\ \frac{5}{6}\ .\ ...\ .\ \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44}$

(Terbukti)

-->

Barisan dan Deret #3

Barisan Geometri Tak Hingga

Perhatikan rumus jumlah$latex n$suku pertama pada deret geometri, $latex S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ dengan $latexr\neq1$. 
Untuk$latex -1<r<1$, jika$latex n\rightarrow \infty $maka$latex r^n\rightarrow 0$sehingga $latex S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$.

-->

Deret Lainnya dan Bentuk Tak Hingga

Suatu barisan/deret tidak selalu berupa barisan/deret aritmatika atau geometri.
Contoh:
Barisan$latex 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ ...$
tiap suku merupakan hasil penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya.

Untuk menyelesaikan persoalan yang ditanyakan memerlukan pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut.

Beberapa contoh rumus deret lainnya:
$latex 1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$latex 1^3+2^3+3^3+...+n^3=\Bigg(\frac{n(n+1}{2}\Bigg)^2$

Berikut ini bentuk-bentuk tak hingga yang dapat diselesaikan dengan memisalkan dengan suatu variabel.

Contoh 1:
Hitunglah niai dari 
$latex \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}}$
Jawaban:
Misalkan 
$latex \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}}=x$
Jika kedua ruas dikuadratkan, maka:
$latex \begin{array}{rcl}2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}&=&x^2\\2x&=&x^2\\x^2-2x&=&0\\x(x-2)&=&0\\x=0&atau&x=2\end{array}$
Jadi
$latex \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}}=2$


Contoh 2:
Hitunglah Bentuk tak hingga
$latex 2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{...}}}$
Jawaban:
Misalkan 
$latex 2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{...}}}=x$
sehingga diperoleh:
$latex \begin{array}{rcl}2+\frac{3}{x}&=&x\\2x+3&=&x^2\\x^2-2x-3&=&0\\(x-3)(x+1)&=&0\\x=3&atau&x=-1\end{array}$
Jadi
$latex 2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{...}}}=3$

-->

Barisan dan Deret #2

Barisan Aritmatika Bertingkat

Misalkan ada barisan$latex U_{1}, U_{2},\ U_{3},\ ...,\ U_{n}$bukan merupakan barisan aritmatika sebab $latex U_{n}-U_{n-1}$ tidak konstan, tetapi jika:          

$latex D_{1}(n)=S_{n}-S_{n-1}$

$latex D_{2}(n)=D_{1}(n)-D_{1}(n-1)$

$latex ...$

dan seterusnya sampai pada suatu saat$latex D_{k}(n)-D_{k}(n-1)$bernilai konstan, maka kita peroleh rumus jumlah$latex n$suku pertama barisan tersebut merupakan polinomial berderajat (berpangkat)$latex n$.

-->

Contoh:

Diketahui barisan$latex 1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\ ...$.

Tentukan rumus jumlah$latex n$suku pertama.

Solusi :

Barisan$latex 1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\ ...$bukan barisan aritmatika, tetapi

$latex U_{1}=1$

$latex U_{2}=1+2$

$latex U_{3}=1+2+3$

$latex U_{4}=1+2+3+4$

$latex U_{5}=1+2+3+4+5$

$latex U_{6}=1+2+3+4+5+6$

$latex ...$

suku ke-$latex n$barisan tersebut merupakan jumlah$latex n$suku pertama dari barisan

$latex 1,\ 2,\ 3,\ ...,\ n$

yang merupakan barisan aritmatika.

Dengan demikian barisan pada soal tersebut dapat dianggap sebagai$latex barisan\ aritmatika\ bertingkat$.

$latex n$	$latex S_{n}$	$latex D_{1}(n)=S_{n}-S_{n-1}$	$latex D_{2}(n)=D_{1}(n)-D_{1}(n-1)$	$latex D_{3}(n)=D_{2}(n)-D_{2}(n-1)$
$latex 1$	$latex 1$
$latex 2$	$latex 4$	$latex 3$
$latex 3$	$latex 10$	$latex 6$	$latex 3$
$latex 4$	$latex 20$	$latex 10$	$latex 4$	$latex 1$
$latex 5$	$latex 35$	$latex 15$	$latex 5$	$latex 1$

Karena$latex D_{3}(n)$konstan maka$latex S_{n}$merupakan polinomial berderajat 3. Misalkan$latex S_{n}=an^3+bn^2+cn+d$.

$latex n$	$latex S_{n}$	$latex D_{1}(n)=S_{n}-S_{n-1}$	$latex D_{2}(n)=D_{1}(n)-D_{1}(n-1)$	$latex D_{3}(n)=D_{2}(n)-D_{2}(n-1)$
$latex 1$	$latex a+b+c+d$
$latex 2$	$latex 8a+4b+2c+d$	$latex 7a+3b+c$
$latex 3$	$latex 27a+9b+3c+d$	$latex 19a+5b+c$	$latex 12a+2b$
$latex 4$	$latex 64a+16b+4c+d$	$latex 37a+7b+c$	$latex 18a+2b$	$latex 6a$
$latex 5$	$latex 125a+25b+5c+d$	$latex 61a+9b+c$	$latex 24a+2b$	$latex 6a$

Dari kedua tabel diperoleh:

$latex 6a=1\qquad \Rightarrow \qquad a=\frac{1}{6}$

$latex 12a+2b=3\qquad \Rightarrow \qquad b=\frac{1}{2}$

$latex 7a+3b+c=3\qquad \Rightarrow \qquad c=\frac{1}{3}$

$latex a+b+c+d=1\qquad \Rightarrow \qquad d=0$

Jadi rumus jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah$latex S_{n}=\frac{1}{6}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

-->

Barisan dan Deret #1

$latex \bf{Barisan\ dan\ Deret\ Aritmatika}$		$latex \bf{Barisan\ dan\ Deret\ Geometri}$
$latex Contoh\ barisan$	$latex 2,\ 5,\ 8,\ 11,\ ...$	$latex Contoh\ barisan$	$latex 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ ...$
$latex Contoh\ deret$	$latex 2+5+8+11+...$	$latex Contoh\ deret$	$latex 2+6+18+54+...$
$latex Bentuk\ baku$	$latex a,\ a+b,\ a+2b,\ a+3b,\ ...$	$latex Bentuk\ baku$	$latex a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ...$
$latex Bentuk\ lain$	$latex a-b,\ a,\ a+b,\ a+2b,\ ...$	$latex Bentuk\ lain$	$latex \frac{a}{r},\ a,\ ar,\ ar^2,\ ...$
$latex Suku\ke-n$	$latex U_{n}=a+(n-1)b$	$latex Suku\ke-n$	$latex U_{n}=a.r^{n-1}$
$latex "Beda"$	$latex b=U_{n}-U_{n-1}$	$latex "Rasio"$	$latex r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$
$latex Suku\ tengah$	$latex 2U_{t}=U_{1}+U_{n}$	$latex Suku\ tengah$	$latex {U_{t}}^2=U_{1}.U_{n}$
$latex Jumlah\ n\ suku$	$latex S_{n}=\frac{n(U_{1}+U_{n})}{2}$	$latex Jumlah\ n\ suku$	$latex S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1},\quad r>1$
	$latex S_{n}=\frac{n\big(2a+(n-1)b\big)}{2}$		$latex S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r},\quad r<1$
$latex Sisipan\ k\ suku$	$latex b\acute {}=\frac{b}{k+1}$	$latex Sisipan\ k\ suku$	$latex r\acute {}=\sqrt[k+1]{r}$
$latex Rumus\ khusus$	$latex U_{m}-U_{n}=(m-n)b,\quad m>n$	$latex Rumus\ khusus$	$latex r^{m-n}=\frac{U_{m}}{U_{n}},\quad m>n$
	$latex U_{n}=S_{n}-S_{n-1}$		$latex U_{n}=S_{n}-S_{n-1}$
	$latex \frac{S_{n\acute {}}}{S_{n}}=\frac{n\acute {}}{S_{n}}$		$latex \frac{S_{n\acute {}}}{S_{n}}=\frac{n\acute {}}{S_{n}}$

-->