Masalah Jarak dan Kecepatan

Masalah ini penulis dapatkan sewaktu berjalan-jalan dan mampir ke Vincentmath's.

Soal:

$latex Joni\ dan\ Budi\ berangkat\ secara\ bersamaan\ dari\ dua\ kota\ yang\ berbeda.\\ Mereka\ sepakat\ untuk\ bertemu\ di\ perjalanan.\ Jika\ kecepatan\ Joni\ adalah\ 2\ km/jam\\ lebih\ cepat\ dari\ kecepatan\ Budi\ maka\ mereka\ akan\ bertemu\ pada\ 3\ jam\ setelah\ berangkat,\\ tetapi\ jika\ kecepatan\ Budi\ 1\ km/jam\ lebih\ lambat\ dan\ kecepatan\ Joni\ adalah\ \frac{2}{3}\ dari\ kecepatan\\sebelumnya\ maka\ mereka\ akan\ bertemu\ pada\ waktu\ 4\ jam\ setelah\ berangkat.\\ Berapakah\ jarak\ kedua\ kota\ tersebut?$

Jawab :

Misalkan:

kecepatan Joni = $latex V_j$ km/jam

kecepatan Budi = $latex V_b$ km/jam

jarak AC = $latex s_1$ km

jarak BC = $latex s_2$ km

jarak kedua kota AB = $latex s$ km

Dari pernyataan “Jika kecepatan Joni adalah 2 km/jam lebih cepat dari kecepatan Budi maka mereka akan bertemu pada 3 jam setelah berangkat” diketahui:

$latex V_j = V_b + 2$ …………....................... (*)

dan dengan menggunakan hubungan jarak, waktu, dan kecepatan $latex (s = V.t)$ diperoleh:
$latex \begin{array}{rcl}Jarak\ kedua\ kota&=&Jarak\ tempuh\ Joni +Jarak\ tempuh\ Budi\\s&=&s_1+s_2\\s&=& (V_b+2).3+V_b.3\\s&=& 6V_b+6\quad .....................................\ (1)\end{array}$ 

Dari pernyataan “Jika Budi 1 km/jam lebih lambat dan kecepatan Joni adalah 2/3 dari kecepatan sebelumnya maka mereka akan bertemu pada waktu 4 jam setelah berangkat” diketahui:

Kecepatan Budi = $latex V_b -1$

Kecepatan Joni = $latex \frac{2}{3} (V_b + 2)$

sehingga, dengan cara yang sama, diperoleh:
$latex \begin{array}{rcl}s &=& s_1 + s_2\\\\s &=& \frac{2}{3}(Vb + 2) . 4 + (V_b-1) . 4\\\\s &=& \frac{8}{3} V_b + \frac{16}{3} + 4V_b-4\\\\s &=& \frac{20}{3} V_b + \frac{4}{3}\quad ....................................\ (2)\end{array}$

Berdasarkan (1) dan (2) diperoleh:
$latex \begin{array}{rcl}6V_b + 6 &=& \frac{20}{3}V_b + \frac{4}{3}\\\\6-\frac{4}{3} &=& \frac{20}{3}V_b-6V_b\qquad (kedua\ ruas\ dikali\ 3)\\\\18-4 &=& 20V_b-18 V_b\\\\16 &=& 2 V_b\\\\V_b &=&8\end{array}$

Substitusi $latex V_b =8$ ke (1) menghasilkan:
$latex \begin{array}{rcl}s &=& 6.8 + 6\\s &=& 48 + 6\\s &=& 54\end{array}$

Jadi jarak kedua kota tersebut adalah 54 km.