Irisan kerucut #6

Kedudukan Garis terhadap Parabola

Kedudukan garis terhadap parabola dapat diselidiki dengan cara berikut.

(1)   Nyatakan persamaan garis secara eksplisit, $latex x$ dinyatakan dalam$latex y$(atau $latex y$ dinyatakan dalam$latex x)$.

(2)   Substitusikan hasil (1) pada persamaan parabola, sehingga didapat persamaan kuadrat.

(3)   Kedudukan garis terhadap parabola ditentukan oleh nilai diskriminan$latex D$dari hasil (2).

a.     Jika$latex D>0$maka garis itu memotong parabola pada dua titik berbeda.

b.    Jika$latex D=0$maka garis itu menyinggung parabola.

c.     Jika$latex D<0$maka garis itu tidak memotong dan tidak menyinggung parabola.

Garis singgung Parabola

(1)  Titik singgung diketahui

Misalkan titik$latex P(x_{1},\ y_{1})$terletak pada parabola dan sebuah garis menyinggung parabola di titik$latex P$. Persamaan garis singgung parabola ditentukan dengan “Cara Bagi Adil” sebagai berikut.

Parabola	Garis singgung
$latex y^2=4px$	$latex y_{1}y=2p(x_{1}+x)$
$latex y^2=-4px$	$latex y_{1}y=-2p(x_{1}+x)$
$latex x^2=4py$	$latex x_{1}x=2p(y_{1}+y)$
$latex x^2=-4py$	$latex x_{1}x=-2p(y_{1}+y)$
$latex (y-b)^2=4p(x-a)$	$latex (y_{1}-b)(y-b)=2p(x_{1}-2a+x)$
$latex (y-b)^2=-4p(x-a)$	$latex (y_{1}-b)(y-b)=-2p(x_{1}-2a+x)$
$latex (x-a)^2=4p(y-b)$	$latex (x_{1}-a)(x-a)=2p(y_{1}-2b+y)$
$latex (x-a)^2=-4p(y-b)$	$latex (x_{1}-a)(x-a)=-2p(y_{1}-2b+y)$

(2)  Melalui titik di luar parabola

Persamaan garis singgung parabola yang melalui titik di luar parabola ditentukan sebagai berikut.

(i)      Tentukan persamaan garis kutub (dengan “Cara Bagi Adil” persamaan parabola) untuk titik tersebut dan nyatakan secara eksplisit,$latex x$dinyatakan dalam$latex y$ (atau$latex y$dinyatakan dalam$latex x$).

(ii)     Tentukan koordinat titik potong garis kutub pada parabola (yaitu titik singgung), dengan mensubstitusikan hasil (i) pada persamaan parabola.

(iii)   Tentukan persamaan garis singgung untuk masing-masing titik singgung dari hasil (ii).

(3)  Garis singgung bergradien m

Bentuk Parabola	Puncak (0, 0)	Puncak (a, b)
Terbuka ke kanan	$latex y=mx+\frac{p}{m}$	$latex y-b=m(x-a)+\frac{p}{m}$
Terbuka ke kiri	$latex y=mx-\frac{p}{m}$	$latex y-b=m(x-a)-\frac{p}{m}$
Terbuka ke atas	$latex y=mx-m^2p$	$latex y-b=m(x-a)-m^2p$
Terbuka ke bawah	$latex y=mx+m^2p$	$latex y-b=m(x-a)+m^2p$