Irisan kerucut #8

Persamaan elips berpusat di O(0, 0)

1. Elips mendatar

Persamaannya $latex \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, dengan$latex a^2> b^2$.

Unsur-unsur elips
Persamaan sumbu utama	$latex y=0$   (sumbu X)
Persamaan sumbu sekawan	$latex x=0$   (sumbu Y)
Koordinat titik fokus	$latex F_{1}(-c,\ 0)$dan$latex F_{2}(c,\ 0)$
Koordinat titik puncak	$latex A_{1}(-a,\ 0)$, $latex A_{2}(a,\ 0)$,  $latex B_{1}(0,\ -b)$, dan$latex B_{2}(0,\ b)$
Eksentrisitas	$latex e=\frac{c}{a}$dengan$latex 0<\frac{c}{a}<1$
Persamaan direktriks	$latex x=-\frac{a}{e}=-\frac{a^2}{c}$dan$latex x=\frac{a}{e}=\frac{a^2}{c}$

2. Elips tegak

Persamaannya $latex \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$, dengan$latex a^2> b^2$.

Unsur-unsur elips
Persamaan sumbu utama	$latex x=0$   (sumbu Y)
Persamaan sumbu sekawan	$latex y=0$   (sumbu X)
Koordinat titik fokus	$latex F_{1}(0,\ -c)$dan$latex F_{2}(0,\ c)$
Koordinat titik puncak	$latex A_{1}(0,\ -a)$, $latex A_{2}(0,\ a)$,  $latex B_{1}(-b,\ 0)$, dan$latex B_{2}(b,\ 0)$
Eksentrisitas	$latex e=\frac{c}{a}$dengan$latex 0<\frac{c}{a}<1$
Persamaan direktriks	$latex y=-\frac{a}{e}=-\frac{a^2}{c}$dan$latex y=\frac{a}{e}=\frac{a^2}{c}$

Irisan kerucut #7

Elips

Definisi

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap.

Dua titik tertentu itu masing-masing disebut titik fokus (F).

Misalkan kedua titik fokus itu F₁ dan F₂ dengan jarak F₁F₂ = 2c, c > 0.

Jika titik P terletak pada elips maka PF1 + PF2 = 2a dengan a > 0 dan 2a > 2c.

O disebut titik pusat elips. A₁, A₂, B₁, B₂ disebut titik-titik puncak elips. Garis g disebut sumbu utama. Garis h disebut sumbu sekawan. Ruas garis A₁A₂ disebut sumbu panjang (sumbu mayor). Ruas garis B₁B₂ disebut sumbu pendek (sumbu minor).

Keterangan:

(1)   Garis yang melalui F₁ dan F₂ disebut sumbu utama (transversal axis). Sumbu utama memotong elips pada dua titik puncak A₁ dan A₂. Ruas garis A₁A₂ disebut sumbu panjang (major axis). Panjang sumbu mayor = 2a.

(2)   Garis yang memotong tegak lurus ruas garis F₁F₂ pada titik tengahnya disebut sumbu sekawan (conjugate axis). Sumbu sekawan memotong elips pada dua titik puncak B₁ dan B₂. Ruas garis B₁B₂ disebut sumbu pendek (minor axis). Panjang sumbu minor = 2b.

(3)   Sumbu mayor dan sumbu minor berpotongan di tengah-tengah elips. Titik potongnya itu disebut titik pusat elips. Titik pusat elips merupakan titik tengah ruas garis F₁F₂.

(4)   Karena memiliki dua titik fokus maka elips memiliki dua latus rectum. Panjang latus rectum =$latex \frac{2b^2}{a}$.

(5)   Hubungan antara nilai a, b, dan c.

Perhatikan gambar elips di atas!

Misalkan titik P terletak pada elips dan jarak kedua fokus F₁F₂ = 2c, maka:
PF₁ + PF₂ = 2a
OF₁ = OF₂ = c
B₁F₁ = B₁F₂ = B₂F₁ = B₂F₂ = a

OB₁ = OB₂ = b

Dari segitiga B₂F₁O siku-siku di O diperoleh a² = b² + c².

(6)   Eksentrisitas$latex e=\frac{c}{a}$dengan$latex 0<\frac{c}{a}<1$.

Melukis elips (manual)

1)    Buatlah lingkaran-lingkaran berpusat di F₁ dan berjari-jari r_i, dengan a – c ≤ ri ≤ a + c (nilai a dipilih sembarang).

2)    Buatlah lingkaran-lingkaran berpusat di F₂ dan berjari-jari r_j, dengan r_j = 2a – r_i.

3)    Tentukan titik potong dari tiap pasang lingkaran pada 1) dan 2).

4)    Hubungkan titik-titik potong tersebut.

Contoh:

Misalkan F₁F₂ = 2c = 8 dan 2a = 10 maka c = 4, a = 5, a – c =1, dan a + c = 9.

ri	1	2	3	4	5	6	7	8	9
rj	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Irisan kerucut #6

Kedudukan Garis terhadap Parabola

Kedudukan garis terhadap parabola dapat diselidiki dengan cara berikut.

(1)   Nyatakan persamaan garis secara eksplisit, $latex x$ dinyatakan dalam$latex y$(atau $latex y$ dinyatakan dalam$latex x)$.

(2)   Substitusikan hasil (1) pada persamaan parabola, sehingga didapat persamaan kuadrat.

(3)   Kedudukan garis terhadap parabola ditentukan oleh nilai diskriminan$latex D$dari hasil (2).

a.     Jika$latex D>0$maka garis itu memotong parabola pada dua titik berbeda.

b.    Jika$latex D=0$maka garis itu menyinggung parabola.

c.     Jika$latex D<0$maka garis itu tidak memotong dan tidak menyinggung parabola.

Garis singgung Parabola

(1)  Titik singgung diketahui

Misalkan titik$latex P(x_{1},\ y_{1})$terletak pada parabola dan sebuah garis menyinggung parabola di titik$latex P$. Persamaan garis singgung parabola ditentukan dengan “Cara Bagi Adil” sebagai berikut.

Parabola	Garis singgung
$latex y^2=4px$	$latex y_{1}y=2p(x_{1}+x)$
$latex y^2=-4px$	$latex y_{1}y=-2p(x_{1}+x)$
$latex x^2=4py$	$latex x_{1}x=2p(y_{1}+y)$
$latex x^2=-4py$	$latex x_{1}x=-2p(y_{1}+y)$
$latex (y-b)^2=4p(x-a)$	$latex (y_{1}-b)(y-b)=2p(x_{1}-2a+x)$
$latex (y-b)^2=-4p(x-a)$	$latex (y_{1}-b)(y-b)=-2p(x_{1}-2a+x)$
$latex (x-a)^2=4p(y-b)$	$latex (x_{1}-a)(x-a)=2p(y_{1}-2b+y)$
$latex (x-a)^2=-4p(y-b)$	$latex (x_{1}-a)(x-a)=-2p(y_{1}-2b+y)$

(2)  Melalui titik di luar parabola

Persamaan garis singgung parabola yang melalui titik di luar parabola ditentukan sebagai berikut.

(i)      Tentukan persamaan garis kutub (dengan “Cara Bagi Adil” persamaan parabola) untuk titik tersebut dan nyatakan secara eksplisit,$latex x$dinyatakan dalam$latex y$ (atau$latex y$dinyatakan dalam$latex x$).

(ii)     Tentukan koordinat titik potong garis kutub pada parabola (yaitu titik singgung), dengan mensubstitusikan hasil (i) pada persamaan parabola.

(iii)   Tentukan persamaan garis singgung untuk masing-masing titik singgung dari hasil (ii).

(3)  Garis singgung bergradien m

Bentuk Parabola	Puncak (0, 0)	Puncak (a, b)
Terbuka ke kanan	$latex y=mx+\frac{p}{m}$	$latex y-b=m(x-a)+\frac{p}{m}$
Terbuka ke kiri	$latex y=mx-\frac{p}{m}$	$latex y-b=m(x-a)-\frac{p}{m}$
Terbuka ke atas	$latex y=mx-m^2p$	$latex y-b=m(x-a)-m^2p$
Terbuka ke bawah	$latex y=mx+m^2p$	$latex y-b=m(x-a)+m^2p$

Irisan Kerucut #5

Persamaan parabola berpuncak di (a, b)

1. Parabola terbuka ke kanan

Parabola berpuncak di titik (a, b) diperoleh dari parabola berpuncak di titik (0, 0) dengan menggeser nilai x sejauh a dan menggeser nilai x sejauh b.

Unsur-unsur parabola
Persamaan sumbu simetri	$latex y=0+b=b$
Koordinat titik fokus	$latex F(p+a,\ 0+b)\equiv F(a+p,\ b)$
Persamaan direktriks	$latex x=-p+a=a-p$
Persamaan latus rectum	$latex x=p+a=a+p$

Latus rectum dibentuk oleh titik$latex (p+a,\ 2p+b)$dan$latex (p+a,\ -2p+b)$, sehingga panjang latus rectum tetap$latex 4p$.

Persamaan parabola berpuncak di (a, b) dan terbuka ke kanan adalah $latex \bf{(y-b)^2=4p(x-a)}$.

2. Parabola terbuka ke kiri

Persamaannya$latex \bf{(y-b)^2=-4p(x-a)}$, dengan fokus$latex F(a-p,\ b)$dan direktriks$latex x=a+p$.

3. Parabola terbuka ke atas

Persamaannya$latex \bf{(x-a)^2=4p(y-b)}$, dengan fokus$latex F(a,\ b+p)$dan direktriks$latex y=b-p$.

4. Parabola terbuka ke bawah

Persamaannya$latex \bf{(x-a)^2=-4p(y-b)}$, dengan fokus$latex F(a,\ b-p)$dan direktriks$latex y=b+p$.

Irisan Kerucut #4

Persamaan parabola berpuncak di O(0, 0)

1. Parabola terbuka ke kanan

Misalkan jarak titik puncak ke titik fokus F adalah p (sehingga p > 0).

Unsur-unsur parabola
Persamaan sumbu simetri	$latex y=0$
Koordinat titik fokus	$latex F(p,\ 0)$
Persamaan direktriks	$latex x=-p$
Persamaan latus rectum	$latex x=p$

Latus rectum adalah ruas garis yang dibentuk oleh dua titik, yaitu $latex (p,\ 2p)$ dan $latex (p,\ -2p)$, sehingga panjang latus rectum adalah $latex 4p$.

Persamaan parabola berpuncak di O(0, 0) dan terbuka ke kanan adalah $latex \bf{y^2=4px}$.

Unsur-unsur parabola terbuka ke kiri, ke atas, dan ke bawah, mengacu pada parabola terbuka ke kanan.

2. Parabola terbuka ke kiri

Persamaannya $latex \bf{y^2=-4px}$, dengan fokus$latex F(-p,\ 0)$dan direktriks$latex x=p$.

3. Parabola terbuka ke atas

Persamaannya $latex \bf{x^2=4py}$, dengan fokus$latex F(0,\ p)$dan direktriks$latex y=-p$.

4. Parabola terbuka ke bawah

Persamaannya $latex \bf{x^2=-4py}$, dengan fokus$latex F(0,\ -p)$dan direktriks$latex y=p$.