Teori Bilangan #5

Bilangan Prima         

Definisi Suatu bilangan p disebut bilangan prima jika p ≠ 0, p ≠ ±1, dan p tidak mempunyai pembagi-pembagi selain ±1 dan ± p.

Meskipun demikian cukuplah kajian dibatasi pada bilangan bulat positif, sehingga didefinisikan sebagai berikut.

  

Suatu bilangan asli (bulat positif) p disebut bilangan prima jika p ≠ 1 dan p tidak mempunyai pembagi-pembagi selain 1 dan p sendiri.

Bilangan prima tersebut adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Teorema Euler         

Ada tak hingga banyak bilangan prima.

Bukti:

Andaikan banyak bilangan prima terhingga, misalkan n buah, sebutlah p₁, p₂, p₃, …, p_n

dengan p₁ < p₂ < p₃ < … < p_n.

Bentuklah bilangan S = p₁ . p₂ . p₃ . … . p_n + 1.

Jelas bahwa p_i < S untuk setiap i = 1, 2, 3, …, n, juga p_i tidak membagi S karena ada sisa 1.

Dengan demikian yang bisa membagi S adalah 1 dan S itu sendiri. 

Jadi S adalah suatu bilangan prima yang lain dari p₁, p₂, p₃, …, p_n.

Hal ini bertentangan dengan pengandaian di atas.

Kesimpulan: Ada tak hingga banyak bilangan prima.

DALIL DASAR ILMU HITUNG

Setiap bilangan asli a, a ≠ 1, a ≠ p dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari beberapa bilangan prima secara tunggal, kecuali urutan faktor-faktornya yang dapat berbeda.

Contoh:

Untuk bilangan 16 dan 24 diperoleh:

16  = 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁴ = 2³ . 2

24 = 2 . 2 . 2 . 3 =          2³ . 3

Faktor-faktor tersebut diurutkan menurut besarnya secara tunggal, juga mengandung beberapa faktor yang sama.

Dari faktorisasi kedua bilangan tersebut dapat ditentukan PPB dan KPK dari keduanya.

(16, 24) = 2³ = 8

[16, 24] = 2⁴ . 3 = 48

Perluasan (Bentuk Umum) Dalil Dasar Ilmu Hitung

Jika a bilangan asli, a ≠ 1, a ≠ p maka $latex {p_{1}}^{\alpha _{1}}.\ {p_{2}}^{\alpha _{2}}.\ {p_{3}}^{\alpha _{3}}.\ ...\ .\ {p_{n}}^{\alpha _{n}}$ dengan p1 < p2 < p3 < … < pn.

Teorema 1

Jika p bilangan prima dan p\ab, maka p\a atau p\b.

Bukti:

Jika p\a maka pembuktian selesai.

Andaikan p tidak membagi a, sehingga (a, p) = 1, maka $ s₀, t₀ demikian sehingga:

1 = s₀a + t₀p                kalikan dengan b

b = s₀ab + t₀bp           

Diketahui p\ab tetapi juga p\t₀bp maka p\s₀ab + t₀bp.

\ p\b.

Keterangan:

Dua bilangan asli a dan b disebut koprima jika dan hanya jika (a, b) = 1.

Berikut ini beberapa contoh pasangan bilangan yang saling koprima.

3 dan 8,

3 dan 5,

8 dan 9,

dan seterusnya.

Teorema 2

Jika (a, c) = 1 dan c\ab, maka c\b.

Bukti:

Karena (a, c) = 1, maka $ s₀, t₀ demikian sehingga:

1 = s₀a + t₀c                kalikan dengan b

b = s₀ab + t₀bc           

Diketahui c\ab tetapi juga c\t₀bc maka c\s₀ab + t₀bc.

\ c\b.

Teorema 3

Jika (a, c) = 1, a\m, dan c\m, maka ac\m.

Bukti:

Karena (a, c) = 1, maka $ s₀, t₀ demikian sehingga:

1 = s₀a + t₀c                kalikan dengan m

m = s₀am + t₀cm       ……………………….. (*)

Selain itu diperoleh pula:

a\m     ®        m = ka

c\m     ®        m = lc

sehingga dari (*) diperoleh m = s₀a(lc) + t₀c(ka) sehingga ac\( s₀alc + t₀cka).

\ ac\m.

______________________________________________________________________________________________________

Kuliah 5 Teori bilangan oleh Drs. Bachtiar Sjarif, Institut Teknologi Bandung, 10 Desember 1988

-->