Teori Bilangan #6

Teorema 4

Jika m > 0 maka (ma, mb) = m (a, b).

Bukti:
(a, b) = s₀a + t₀b         untuk suatu s₀ dan t₀.
Juga s₀a + t₀b adalah bilangan bulat positif terkecil yang berbentuk sa + tb, demikian sehingga:
(ma, mb) = m(s₀a + t₀b)

    = s₀(ma) + t₀(mb)            

Jadi s₀(ma) + t₀(mb) adalah bilangan bulat positif terkecil yang berbentuk s(ma) + t(mb).
Hal ini berarti s₀(ma) + t₀(mb) adalah PPB dari ma dan mb, sehingga m(a, b) = (ma, mb) atau (ma, mb) = m(a, b).

Teorema 5

Jika c > 0 dan c\a, c\b, maka $latex \big(\frac{a}{c},\ \frac{b}{c}\big)=\frac{1}{c}(a,\ b)$.

Bukti:
c\a      ®        a = kc
c\b      ®        b = lc
demikian sehingga:

(a, b) = (kc, lc) = c(k, l)                    menurut Teorema 4

(k, l) =$latex \frac{1}{c}\ (a,\ b)$
$latex \Big(\frac{a}{c},\ \frac{b}{c}\Big)=\frac{1}{c}\ (a, b)$

Keterangan:

Jika c = d, dengan d adalah PPB dari a dan b, maka $latex \Big(\frac{a}{d},\ \frac{b}{d}\Big)=\frac{1}{d}\ (a, b)=\frac{1}{d}.d=1$
sehingga $latex \frac{a}{d}$ dan $latex \frac{b}{d}$ koprima.
Contoh:
Misalkan a = 16 dan b = 24.
Karena $latex \frac{a}{8}=\frac{16}{8}=2$ dan $latex \frac{b}{8}=\frac{24}{8}=3$ maka (2, 3) = 1.

Jika [a, b] = m maka $latex \Big(\frac{m}{a},\ \frac{m}{b}\Big)=1$; koprima.
Bukti:
Karena [a, b] = m maka m = ka = lb sehingga $latex \frac{m}{a}=k$ dan $latex \frac{m}{b}=l$.
Akan dibuktikan bahwa $latex \Big(\frac{m}{a},\ \frac{m}{b}\Big)=(k,\ l)=1$.

Andaikan $latex (k,\ l)\neq 1$.

Misalkan (k, l) = c, dengan c > 1, maka

c\k       ®        c = k₁c

c\l        ®        c = l₁c

sehingga m = k₁ca dan m = lb = l₁cb.

\ $latex \frac{m}{c}=k_{1}a=l_{1}b$.

Karena $latex \frac{m}{c}<m$ maka $latex \frac{m}{c}$ merupakan kelipatan persekutuan dari a dan b.
Ini mustahil, karena [a, b] = m.

Kesimpulan:
Haruslah $latex \Big(\frac{m}{a},\ \frac{m}{b}\Big)=(k,\ l)=1$.

Teorema 6

Jika m > 0 maka [za, zb] = z [a, b].

Bukti:
Misalkan m = [a, b] maka m = ka = lb dan (k, l) = 1.
z [a, b] = zm = zka = zlb = k(za) = l(zb) dengan (k, l) = 1.
Berarti zm adalah KPK dari za dan zb, sehingga zm = z [a, b] = [za, zb].
\ [za, zb] = z [a, b].

Teorema 7

Jika c > 0 dan c\a, c\b, maka $latex \big[\frac{a}{c},\ \frac{b}{c}\big]=\frac{1}{c}[a,\ b]$

Bukti:
c\a       ®        a = kc
c\b       ®        b = lc
demikian sehingga: 
[a, b] = [kc, lc] = c [k, l] = c$latex \Big[\frac{a}{c} ,\ \frac{b}{c}\Big]$
\  $latex \Big[\frac{a}{c} ,\ \frac{b}{c}\Big]=\frac{1}{c}[a, b]$.

Soal 1

Jika a > 0 maka (0, a) = a. Buktikan!
Bukti:
a > 0 maka     a\0 karena 0 = a.0    (setiap bilangan bulat tak nol membagi nol)

                        a\a karena a = a.1

Jadi a adalah pembagi persekutuan dari 0 dan a.
Misalkan c ≠ 0 dan c\a. Jelas c\0 (jelas), maka adalah pembagi persekutuan dari 0 dan a.
Tetapi karena c\a maka |c| £ a sehingga c £ a.
Kesimpulan: a adalah PPB dari 0 dan a.

Soal 2

Jika b\c dan |c| < b maka c = 0. Buktikan!
Bukti:
Karena |c| < b maka  b > 0.
Andaikan c ≠ 0, karena b\c maka b £ |c| sehingga b £ |c| < b.
Hasil tersebut menyatakan b < b, ini mustahil.
Kesimpulan: haruslah c = 0.

______________________________________________________________________________________________________

Kuliah 6 Teori bilangan oleh Drs. Bachtiar Sjarif, Institut Teknologi Bandung, 17 Desember 1988

-->