Irisan Kerucut #2

Lingkaran

Persamaan Lingkaran

Pusat	Bentuk Baku	Bentuk Umum
$latex (0,\ 0)$	$latex x^2+y^2=r^2$	$latex x^2+y^2-r^2=0$
$latex (a,\ b)$	$latex (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$	$latex x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

Misalkan diketahui titik$latex P(x_{1},\ y_{1})$.

Lingkaran	Terletak pada	Terletak di dalam	Terletak di luar
$latex x^2+y^2=r^2$	$latex {x_{1}}^2+{{y_{1}}^2=r^2$	$latex {x_{1}}^2+{{y_{1}}^2<r^2$	$latex {x_{1}}^2+{{y_{1}}^2>r^2$
$latex (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$	$latex (x_{1}-a)^2+(y_{1}-b)^2=r^2$	$latex (x_{1}-a)^2+(y_{1}-b)^2<r^2$	$latex (x_{1}-a)^2+(y_{1}-b)^2>r^2$

Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran dapat diselidiki dengan cara berikut.

(1)   Nyatakan persamaan garis secara eksplisit, $latex x$ dinyatakan dalam$latex y$(atau $latex y$ dinyatakan dalam$latex x)$.

(2)   Substitusikan hasil (1) pada persamaan lingkaran, sehingga didapat persamaan kuadrat.

(3)   Kedudukan garis terhadap lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan$latex D$dari hasil (2).

      a.     Jika$latex D>0$maka garis itu memotong lingkaran pada dua titik berbeda.

      b.    Jika$latex D=0$maka garis itu menyinggung lingkaran.

      c.     Jika$latex D<0$maka garis itu tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran.

Garis singgung Lingkaran

(1)  Titik singgung diketahui

            Misalkan titik$latex P(x_{1},\ y_{1})$terletak pada lingkaran dan sebuah garis menyinggung lingkaran di titik$latex P(x_{1},\ y_{1})$.

Lingkaran	Garis singgung
$latex x^2+y^2=r^2$	$latex x_{1}x+y_{1}}y=r^2$
$latex (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$	$latex (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^2$
$latex x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2=r^2$	$latex x_{1}x+y_{1}y-a(x_{1}+x)-b(y_{1}+y)+a^2+b^2=r^2$

      Cara menentukan persamaan garis singgung seperti tercantum pada tabel di atas disebut "Cara Bagi Adil" persamaan 
      lingkaran.

(2)  Melalui titik di luar lingkaran

Misalkan titik$latex P(x_{1},\ y_{1})$terletak di luar lingkaran dan sebuah garis melalui$latex P$dan menyinggung lingkaran.

Melalui P selalu dapat dibuat dua garis singgung terhadap lingkaran.

A dan B masing-masing disebut titik singgung.

Ruas garis AB disebut garis kutub.

Lingkaran	Garis kutub
$latex x^2+y^2=r^2$	$latex x_{1}x+y_{1}}y=r^2$
$latex (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$	$latex (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^2$
$latex x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2=r^2$	$latex x_{1}x+y_{1}y-a(x_{1}+x)-b(y_{1}+y)+a^2+b^2=r^2$

Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran ditentukan sebagai berikut.

(i)   Tentukan persamaan garis kutub untuk titik tersebut dan nyatakan secara eksplisit,$latex x$ dinyatakan dalam$latex y$

      (atau $latex y$ dinyatakan dalam$latex x)$.

(ii)  Tentukan koordinat titik potong garis kutub pada lingkaran (yaitu titik singgung), dengan mensubstitusikan hasil (i) pada 

      persamaan lingkaran.

(iii) Tentukan persamaan garis singgung untuk masing-masing titik singgung dari hasil (ii).


(3)  Garis singgung bergradien m

Lingkaran	Garis singgung
$latex x^2+y^2=r^2$	$latex y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}$
$latex (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$	$latex y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$
$latex x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2=r^2$