Sukubanyak (Polynomial)

Di dalam blog ini sudah saya terbitkan tulisan ini. Kali ini tulisan tersebut saya buat ulang dengan menggunakan $latex \small\LaTeX$
  

Naskah ini dapat digunakan sebagai bahan pelatihan untuk persiapan menuju Olimpiade Sains Nasional (OSN) atau Olimpiade Matematika (IMO).

Bila dalam naskah ini terdapat kesalahan materi dimohon untuk diberitahukan kepada penulis beserta perbaikannya.

Demikian semoga bermanfaat!

Adjie Gumarang Pujakelana, 2013

-->

Sukubanyak (Polinom) #3 (T.A.M.A.T)

Dalil (Teorema) Sisa

Teorema 1	Jika sukubanyak$latex P(x)$dibagi oleh $latex (x-a)$maka bersisa$latex S=P(a)$
Teorema 2	Jika sukubanyak$latex P(x)$dibagi oleh $latex (ax-b)$maka bersisa$latex S=P\Big(\frac{b}{a}\Big)$
Teorema 3	Jika sukubanyak$latex P(x)$dibagi oleh $latex (x-a)(x-b)$maka bersisa$latex S(x)=\Bigg[\frac{P(a)-P(b)}{a-b}\Bigg]x+\frac{a.P(b)-b.P(a)}{a-b}$

-->

Akar-akar rasional dari persamaan sukubanyak

$latex a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x+a_{0}=0$disebut persamaan sukubanyak dalam $latex x$ berderajat$latex n$.

Keterangan:

(1)   $latex x=a$disebut akar dari persamaan sukubanyak$latex P(x)=0$jika dan hanya jika$latex P(a)=0$.

(2)   Dalil (Teorema) Faktor:

$latex (x-a)$disebut faktor dari persamaan sukubanyak$latex P(x)$jika dan hanya jika $latex P(a)=0$.

Berdasarkan (1) dan (2) maka:

$latex \bf{(x-a)}$disebut faktor dari persamaan sukubanyak$latex \bf{P(x)}$jika dan hanya jika$latex \bf{x=a}$adalah akar dari persamaan$latex \bf{P(x)=0}$.

(3)   Jika$latex P(x)$adalah sukubanyak berderajat$latex n$, maka persamaan$latex P(x)=0$mempunyai akar real maksimum sebanyak$latex n$.

(4)   Jika sukubanyak$latex P(x)$memiliki koefisien-koefisien bulat dan persamaan$latex P(x)=0$ memiliki akar bulat, maka akar tersebut merupakan faktor bulat dari suku konstannya.

-->

Sukubanyak (Polinom) #2

Pembagian sukubanyak

Jika suatu sukubanyak dibagi maka sukubanyak itu dapat dinyatakan dengan

$latex \bf{sukubanyak=(pembagi\times hasil\ bagi)+sisa}$

Misalkan:

sukubanyak	$latex P(x)$	berderajat$latex n$
pembagi	$latex Q(x)$	berderajat$latex m$	dengan$latex m<n$
hasil bagi	$latex H(x)$
sisa	$latex S(x)$

maka 

$latex P(x)=Q(x).H(x)+S(x)$

dengan$latex H(x)$ berderajat$latex n-m$dan$latex Q(x)$ berderajat$latex m-1$.

-->

$latex P(x)$habis dibagi oleh$latex Q(x)$jika dan hanya jika$latex S(x)=0$

demikian sehingga$latex Q(x)$dan$latex H(x)$masing-masing disebut faktor dari$latex P(x)$.

Pembagian sukubanyak dapat dilakukan dengan menggunakan

(1) cara biasa (“bagi-kurung”), atau

(2) cara Hörner.

Bentuk-bentuk pembagi yang sederhana pada pembagian sukubanyak adalah:

(1) $latex (x-a)$

(2) $latex (ax-b)$

(3) $latex (x-a)(x-b)$

-->

Sukubanyak (Polinom) #1

$latex P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x+a_{0}$ disebut sukubanyak dalam $latex x$ berderajat$latex n$dengan

           $latex n$adalah bilangan cacah

           $latex a_{n},\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ ...,\ a_{1},\ a_{0}$adalah bilangan-bilangan real dan $latex a_{n}\neq 0$

           $latex a_{k}$ disebut koefisien dari $latex x^k$, untuk $latex k=n,\ n-1,\ n-2,\ ...,\ 1,\ 0$

           $latex a_{0}$ disebut suku kontan.

Teorema Binomial Newton

$latex (a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\ _{n}C_{i}.a^{n-i}.b^{i}$

dengan suku ke-r:

$latex U_{r}= _{n}C_{r-1}.a^{n-(r-1)}.b^{r-1}$untuk$latex r=1,\ 2,\ 3,\ ...,\ n+1$

-->

Operasi aljabar pada sukubanyak

Misalkan diketahui dua sukubanyak, yaitu$latex P(x)$berderajat$latex n$dan$latex Q(x)$berderajat$latex m$maka

$latex P(x)\pm Q(x)$berderajat$latex n$jika$latex n>m$dan berderajat$latex m$jika$latex m>n$

$latex P(x)\times Q(x)$berderajat$latex m+n$

$latex P(x)\div Q(x)$berderajat$latex n-m$hanya jika$latex n>m$.

Nilai sukubanyak

Nilai sukubanyak dapat ditentukan dengan

(1) cara substitusi, atau

(2) cara Hörner.

-->