Menentukan Persamaan Parabola dan Ellips Miring

Seorang teman mengadukan masalah ini dalam perbincangan kami di di jejaring sosial. Dua nomor soal yang diberikan adalah sebagai berikut:

1. Dengan menggunakan definisi ellips, tentukan persamaan ellips dengan fokus $F_1(0,0)$ dan $F_2(2,1)$ dan jumlah jarak titik pada ellips ke $F_1$ dan $F_2$ adalah $5$ satuan.
2. Tentukan persamaan parabola dengan direktriks $y=x$ dan fokus $(0,6)$.

Dengan menggunakan pengertian dan definisi parabola dan ellips akan diperoleh sketsa grafik seperti tampak pada gambar di atas.

Ini menjadi menarik dan menantang karena "tidak biasa", yaitu kedua kurva itu berbentuk miring.

Tentu saja, persamaan dari kedua kurva tersebut dapat diperoleh dengan mudah bila dicari dengan menggunakan, misalnya, GeoGebra. Lalu bagaimana bila kita menganalisis dan menyelesaikan soal tersebut tanpa bantuan software?

Seumpama pisau yang terlalu lama tak diasah, semula saya selesaikan kedua soal tersebut dengan lebih dulu menganggap bahwa kedua kurva tersebut mendatar. Tetapi akhirnya terkendala oleh keharusan membentuk transformasi yang justru menambah kerumitan dalam penyelesaiannya.

Setelah mengadu ke forum, barulah tersadar bahwa penyelesaiannya "cukup sederhana", yaitu dengan menggunakan definisi (seperti dimaksudkan oleh pembuat soal tersebut).

Nah, berikut ini penyelesaian selengkapnya untuk kedua soal di atas yang saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online $\small\LaTeX$ Editor ShareLaTeX.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2014

-->

Irisan kerucut #13 (T.A.M.A.T)

Persamaan hiperbola berpusat di (p, q)

1. Hiperbola mendatar

Persamaannya $latex \frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$

Unsur-unsur hiperbola
Persamaan sumbu utama	$latex y=q$
Persamaan sumbu sekawan	$latex x=p$
Koordinat titik fokus	$latex F_{1}(-c+p,\ q)$dan$latex F_{2}(c+p,\ q)$
Koordinat titik puncak	$latex A_{1}(-a+p,\ q)$,$latex A_{2}(a+p,\ q)$
Persamaan direktriks	$latex x=\pm \frac{a}{e}+p=\pm \frac{a^2}{c}+p$
Persamaan asimtot	$latex y-q=\pm \frac{b}{a}(x-p)$

-->

2. Hiperbola tegak

Persamaannya $latex \frac{(y-q)^2}{a^2}-\frac{(x-p)^2}{b^2}=1$

Unsur-unsur hiperbola
Persamaan sumbu utama	$latex x=p$
Persamaan sumbu sekawan	$latex y=q$
Koordinat titik fokus	$latex F_{1}(p,\ -c+q)$dan$latex F_{2}(p,\ c+q)$
Koordinat titik puncak	$latex A_{1}(p,\ -a+q)$,$latex A_{2}(p,\ a+q)$
Persamaan direktriks	$latex x=\pm \frac{a}{e}+q=\pm \frac{a^2}{c}+q$
Persamaan asimtot	$latex y-q=\pm \frac{a}{b}(x-p)$

-->

Persamaan garis singgung hiperbola bergradien m

Pusat hiperbola	Garis singgung hiperbola mendatar	Garis singgung hiperbola tegak
$latex (0,\ 0)$	$latex y=mx\pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$	$latex y=mx\pm \sqrt{-b^2m^2+a^2}$
$latex (p,\ q)$	$latex y-q=m(x-p)\pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$	$latex y-q=m(x-p)\pm \sqrt{-b^2m^2+a^2}$

-->

Irisan kerucut #12

Persamaan hiperbola berpusat di O(0, 0)

1. Hiperbola mendatar

Persamaannya $latex \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Unsur-unsur hiperbola
Persamaan sumbu utama	$latex y=0$(sumbu X)
Persamaan sumbu sekawan	$latex x=0$(sumbu Y)
Koordinat titik fokus	$latex F_{1}(-c,\ 0)$dan$latex F_{2}(c,\ 0)$
Koordinat titik puncak	$latex A_{1}(-a,\ 0)$, $latex A_{2}(a,\ 0)$
Persamaan direktriks	$latex x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{a^2}{c}$
Persamaan asimtot	$latex y=\pm \frac{b}{a}x$

2. Hiperbola tegak

Persamaannya $latex \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$.

Unsur-unsur hiperbola
Persamaan sumbu utama	$latex x=0$(sumbu Y)
Persamaan sumbu sekawan	$latex y=0$(sumbu X)
Koordinat titik fokus	$latex F_{1}(0,\ -c)$dan$latex F_{2}(0,\ c)$
Koordinat titik puncak	$latex A_{1}(0,\ -a)$, $latex A_{2}(0,\ a)$
Persamaan direktriks	$latex y=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{a^2}{c}$
Persamaan asimtot	$latex y=\pm \frac{a}{b}x$

Irisan kerucut #11

Hiperbola

Definisi

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap.

Dua titik tertentu itu masing-masing disebut titik fokus (F).

Misalkan kedua titik fokus itu F₁ dan F₂ dengan jarak F₁F₂ = 2c, c > 0.

Jika titik P terletak pada elips maka PF1 – PF2 = 2a dengan a > 0 dan 2a < 2c.

Keterangan:

(1)   Garis yang melalui F₁ dan F₂ disebut sumbu utama (transversal axis). Sumbu utama memotong hiperbola pada dua titik puncak A₁ dan A₂. Ruas garis A₁A₂ disebut sumbu panjang (major axis). Panjang sumbu mayor = 2a.

(2)   Garis yang memotong tegak lurus ruas garis F₁F₂ pada titik tengahnya disebut sumbu sekawan (conjugate axis). 

Jika titik B₁(0, –b) dan titik B₂(0, b) maka ruas garis B₁B₂ disebut sumbu pendek (minor axis). Panjang sumbu minor B₁B₂ = 2b.

Sumbu sekawan (s) tidak memotong hiperbola sehingga disebut sumbu khayal.

(3)   Sumbu utama dan sumbu sekawan berpotongan di tengah-tengah kedua sumbu itu. Titik potongnya itu disebut titik pusat hiperbola. Titik pusat hiperbola merupakan titik tengah dari ruas garis F₁F₂ dan ruas garis A₁A₂.

(4)   Hiperbola memiliki dua latus rectum. Panjang latus rectum hiperbola =$\frac{2b^2}{a}$.

(5)   Hubungan antara nilai a, b, dan c adalah c² = a² + b².

(6)   Eksentrisitas$latex e=\frac{c}{a}$ dengan $latex \frac{c}{a}>1$.

(7)   Asimtot

Asimtot adalah garis yang didekati oleh suatu kurva, dalam hal ini adalah kurva hiperbola. Asimtot (antara lain) berfungsi sebagai garis bantu (pembatas) ketika kura hiperbola digambarkan (secara manual).

Hiperbola memiliki dua asimtot. Jika kedua asimtot hiperbola saling tegak lurus maka hiperbola itu disebut hiperbola ortogonal. Suatu hiperbola disebut hiperbola ortogonal jika dan hanya jika a² = b².

Melukis hiperbola (manual)

1)    Buatlah lingkaran-lingkaran berpusat di F₁ dan berjari-jari r_i, dengan r_i ³ a – c.

2)    Buatlah lingkaran-lingkaran berpusat di F₂ dan berjari-jari r_j, dengan r_j = 2a + r_i.

3)    Tentukan titik potong dari tiap pasang lingkaran pada 1) dan 2).

4)    Hubungkan titik-titik potong tersebut.

Contoh:

Misalkan F₁F₂ = 2c = 10 dan 2a = 8 maka c = 5, a = 4, c – a =1, sehingga r_i ³ 1 dan r_j = 8 + r_i.

ri	1	2	3	4	5
rj	9	10	11	12	13

Irisan kerucut #10

Bentuk umum persamaan elips

1. Elips mendatar

Persamaannya $latex b^2x^2+a^2y^2-2b^2px-2a^2qy+b^2p^2+a^2q^2-a^2b^2=0$ dengan $latex a^2> b^2$.

2. Elips tegak

Persamaannya $latex a^2x^2+b^2y^2-2a^2px-2b^2qy+a^2p^2+b^2q^2-a^2b^2=0$ dengan $latex a^2> b^2$.

Persamaan garis singgung elips bergradien m

Pusat elips	Garis singgung elips mendatar	Garis singgung elips tegak
$latex (0,\ 0)$	$latex y=mx\pm \sqrt{a^2m^2+b^2}$	$latex y=mx\pm \sqrt{b^2m^2+a^2}$
$latex (p,\ q)$	$latex y-q=m(x-p)\pm \sqrt{a^2m^2+b^2}$	$latex y-q=m(x-p)\pm \sqrt{b^2m^2+a^2}$

Irisan kerucut #9

Persamaan elips berpusat di (p, q)

1. Elips mendatar

Persamaannya $latex \frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$, dengan$latex a^2> b^2$.

Unsur-unsur elips
Persamaan sumbu utama	$latex y=q$
Persamaan sumbu sekawan	$latex x=p$
Koordinat titik fokus	$latex F_{1}(p-c,\ q)$dan$latex F_{2}(p+c,\ q)$
Koordinat titik puncak	$latex A_{1}(p-a,\ q)$,$latex A_{2}(p+a,\ q)$,$latex B_{1}(p,\ q-b)$,$latex B_{2}(p,\ q+b)$
Eksentrisitas	$latex e=\frac{c}{a}$ dengan $latex 0<\frac{c}{a}<1$
Persamaan direktriks	$latex x=p-\frac{a^2}{c}$dan$latex x=p+\frac{a^2}{c}$

2. Elips tegak

Persamaannya $latex \frac{(x-p)^2}{b^2}+\frac{(y-b)^2}{a^2}=1$, dengan$latex a^2> b^2$.

Unsur-unsur elips
Persamaan sumbu utama	$latex x=p$
Persamaan sumbu sekawan	$latex y=q$
Koordinat titik fokus	$latex F_{1}(p,\ q-c)$dan$latex F_{2}(p,\ q+c)$
Koordinat titik puncak	$latex A_{1}(p,\ q-a)$,$latex A_{2}(p,\ q+a)$,$latex B_{1}(p-b,\ q)$,$latex B_{2}(p+b,\ q)$
Eksentrisitas	$latex e=\frac{c}{a}$ dengan $latex 0<\frac{c}{a}<1$
Persamaan direktriks	$latex y=q-\frac{a^2}{c}$dan$latex y=q+\frac{a^2}{c}$