Soal dan Solusi: Sudut antara Dua Vektor

Besar sudut $\alpha$ antara dua vektor $\bar{a}$ dan $\bar{b}$ ditentukan dari nilai kosinusnya sebagai hasil bagi perkalian titik kedua vektor oleh perkalian panjangnya. 
\[\color{DarkRed}{cos\ \alpha=\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{a}\mid \mid\bar{b}\mid}}\]
Dengan demikian perkalian titik kedua vektor dapat dinyatakan sebagai 

\[\color{DarkRed}{\bar{a}.\bar{b}=\mid\bar{a}\mid \ \mid\bar{b}\mid\ cos\ \alpha}\]
Dalam hal ini kisaran nilai sudut  $\alpha$  adalah  $\color{DarkRed}{0^\circ\leq\alpha\leq180^\circ}$
sehingga nilai kosinus yang negatif menunjukkan bahwa sudut yang terbentuk adalah sudut tumpul (sudut di kuadran II).

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang sudut antara dua vektor.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Soal dan Solusi: Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Sudut

Rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut meliputi: 

\[sin(\alpha +\beta )=sin\ \alpha \ cos\beta +cos\ \alpha \ sin\beta\]

\[sin(\alpha -\beta )=sin\ \alpha \ cos\beta -cos\ \alpha \ sin\beta\]

\[cos(\alpha +\beta )=cos\ \alpha \ cos\beta -sin\ \alpha \ sin\beta\]

\[cos(\alpha -\beta )=cos\ \alpha \ cos\beta +sin\ \alpha \ sin\beta\]

\[tan(\alpha +\beta )=\frac{tan\ \alpha +tan\ \beta }{1-tan\ \alpha tan\ \beta }\]

\[tan(\alpha -\beta )=\frac{tan\ \alpha -tan\ \beta }{1+tan\ \alpha tan\ \beta }\]

Di antara hal yang harus diperhatikan dalam perhitungannya adalah kuadran dari sudut yang diberikan, karena tanda (positif/negatif) pada nilai perbandingan trigonometri bergantung pada hal ini. Selain itu, karena nilai perbandingan trigonometri dari sebarang sudut dihitung berdasarkan pada sudut lancip yang bersesuaian maka unsur dari nilai perbandingan trigonometri yang diketahui dapat digambarkan dalam suatu segitiga siku-siku. 

Berikut ini contoh soal dan penyelesaiannya tentang permutasi, kombinasi, dan peluang.

Dokumen ini ditulis dengan menggunakan $\small\LaTeX$ melalui writeLaTeX. 
Anda dapat pula mempelajarinya secara online di sini, di situ, di sana, dan di sono.

Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

Perbandingan Trigonometri Sudut Tidak Lancip

Pada siswa tidak selalu mudah dalam memahami konsep ini. Pada sebagian siswa lainnya mungkin lancar dalam menggunakan rumusnya tetapi tidak mampu menjelaskan konsepnya.

Berikut ini saya tampilkan konsep Perbandingan Trigonometri Sudut Tidak Lancip yang saya tulis dengan menggunakan $latex \footnotesize\LaTeX$ dan difasilitasi oleh writeLaTeX.

Semoga bermanfaat!

Adjie Gumarang Pujakelana 2013

-->

File: Sudut dan Satuan Ukuran Sudut

-->

Tipe Soal Ujian Nasional SMK Teknologi #24 Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Tipe Soal Ujian Nasional SMK Teknologi #13 Sudut antara Dua Vektor

Sudut dan Satuan Ukuran Sudut

Definisi ___________________________________________________________________________________________
Sudut adalah bangun yang dibentuk oleh dua sinar yang berpotongan. Masing-masing sinar itu disebut kaki sudut dan titik potongnya itu disebut titik sudut.

Pengukuran Sudut _____________________________________________________________________________

Untuk mengukur sudut $latex \theta $, sebuah busur lingkaran berpusat di titik sudut digambarkan. Panjang busur $latex s$ kemudian dibagi dengan jari-jari busur $latex r$.

$latex \theta =\frac{s}{r}$ sehingga $latex s=r\theta $

Nilai $latex \theta $ didefinisikan sehingga tidak tergantung dari ukuran lingkaran: jika panjang jari-jari diubah, maka perubahan panjang busur dalam proporsi yang sama, sehingga rasio $latex \frac{s}{r}$ tidak berubah.
Karena $latex 1\ putaran=360^\circ $ dan $latex Keliling\ lingkaran=2\pi r$ maka besar sudut dalam radian untuk satu putaran:
$latex \begin{array}{rcl}\theta &=&\frac{s}{r}\\\\\frac{2\pi r}{r}&=&360^\circ \\\\2\pi &=&360^\circ \\\pi &=&180^\circ \end{array}$

Satuan Ukuran Sudut ____________________________________________________________________________

Derajat 

Derajat (°) adalah ukuran sudut pada bidang datar yang menggambarkan $latex \frac{1}{360}$ dari satu putaran penuh. 

Berarti,  $latex 1^\circ $  adalah besar sudut pusat pada lingkaran jika lingkaran tersebut dibagi menjadi 360 buah juring yang sama besar.

$latex 1^\circ $ (ditunjukkan dalam warna merah) dan  $latex 89^\circ $  (ditunjukkan dengan warna biru)

1° = 60’ (menit) dan 1' = 60” (detik).

Derajat dan satuan-satuan pembaginya adalah satu-satunya satuan yang penulisan angka dan simbol satuannya tidak dipisahkan (contoh: 15° 30', bukan 15 ° 30 ').

Radian

Radian (rad) adalah adalah ukuran sudut pada bidang datar yang menggambarkan perbandingan (rasio) antara panjang busur dan jari-jari lingkaran.

$latex 1\ rad$ adalah besar sudut pusat pada lingkaran jika panjang busur yang dibentuknya sama dengan panjang jari-jari lingkaran itu. Pada gambar kanan  $latex b=r=1$ .

Konversi Satuan Ukuran Sudut  _________________________________________________________________

Telah diketahui bahwa $latex \pi \ rad=180^\circ $ sehingga $latex 1\ rad=\frac{180^\circ }{\pi }$ dan $latex 1^\circ =\frac{\pi \ rad}{180}$.

Konversi Radian ke Derajat

$latex Sudut\ dalam\ radian\times \frac{180^\circ }{\pi }$

Contoh:
$latex 1\ rad=1\times \frac{180^\circ }{\pi }\approx 57,2958^\circ \approx 57,3^\circ \\\\2,5\ rad=2,5\times \frac{180^\circ }{\pi }\approx 143,2394^\circ \\\\\frac{\pi }{3}\ rad=\frac{\pi }{3}\times \frac{180^\circ }{\pi }=60^\circ $

Konversi Derajat ke Radian

$latex Sudut\ dalam\ derajat\times \frac{\pi }{180^\circ }$

Contoh:
$latex 1^\circ =1\times \frac{\pi }{180^\circ }\approx 0,0175\ rad\\\\23^\circ =23\times \frac{\pi }{180^\circ }\approx 0,4014\ rad$

Konversi Grads
$latex 1\ putaran=400^g=2\pi \ rad$ sehingga konversi radian ke grads atau sebaliknya dilakukan sebagai berikut.
Contoh: 
$latex 1,2\ rad=1,2\times \frac{200^g}{\pi }\approx 76,3944^g\\\\50^g=50\times \frac{\pi }{200^g}\approx 0,7854\ rad$